Упр.702 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что функция $$y=f(x)$$ является периодической с периодом $$2\pi$$, если:
   1) $$y=\cos x-1$$;
   2) $$y=\sin x+1$$;
   3) $$y=3\sin x$$;
   4) $$y=\frac{\cos x}{2}$$;
   5) $$y=\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$;
   6) $$y=\cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)$$.

1. $$y=\cos x-1$$

   Проверим значение функции при сдвиге аргумента на $$2\pi$$:

   $$y(x+2\pi)=\cos(x+2\pi)-1=\cos x-1=y(x).$$

   Следовательно, функция периодична с периодом $$2\pi$$.

2. $$y=\sin x+1$$

   $$y(x+2\pi)=\sin(x+2\pi)+1=\sin x+1=y(x).$$

   Следовательно, функция периодична с периодом $$2\pi$$.

3. $$y=3\sin x$$

   $$y(x+2\pi)=3\sin(x+2\pi)=3\sin x=y(x).$$

   Следовательно, функция периодична с периодом $$2\pi$$.

4. $$y=\dfrac{\cos x}{2}$$

   $$y(x+2\pi)=\dfrac{\cos(x+2\pi)}{2}=\dfrac{\cos x}{2}=y(x).$$

   Следовательно, функция периодична с периодом $$2\pi$$.

5. $$y=\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)$$

   $$y(x+2\pi)=\sin\left((x+2\pi)-\dfrac{\pi}{4}\right) =\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}+2\pi\right) =\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=y(x).$$

   Следовательно, функция периодична с периодом $$2\pi$$.

6. $$y=\cos\left(x+\dfrac{2\pi}{3}\right)$$

   $$y(x+2\pi)=\cos\left((x+2\pi)+\dfrac{2\pi}{3}\right) =\cos\left(x+\dfrac{2\pi}{3}+2\pi\right) =\cos\left(x+\dfrac{2\pi}{3}\right)=y(x).$$

   Следовательно, функция периодична с периодом $$2\pi$$.

Ответ: во всех пунктах функция является периодической с периодом $$2\pi$$.