Упр.698 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти множество значений функции $$y=\sin x-5\cos x$$.

Представим выражение в виде одной тригонометрической функции:

$$y=\sin x-5\cos x=\sqrt{26}\left(\frac{1}{\sqrt{26}}\sin x-\frac{5}{\sqrt{26}}\cos x\right).$$

Подберём угол $$\varphi$$ так, чтобы

$$\cos \varphi=\frac{1}{\sqrt{26}}, \qquad \sin \varphi=\frac{5}{\sqrt{26}}.$$

Тогда

$$\frac{1}{26}+\frac{25}{26}=1,$$

значит, такой угол существует. Получаем

$$y=\sqrt{26}\,(\cos \varphi \sin x-\sin \varphi \cos x)=\sqrt{26}\sin(x-\varphi).$$

Так как

$$-1\le \sin(x-\varphi)\le 1,$$

то

$$-\sqrt{26}\le y\le \sqrt{26}.$$

Ответ: $$[-\sqrt{26};\sqrt{26}]$$.