Упр.697 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

у — 3 cos 2х — 4 sin 2х.

Представим выражение в виде одной тригонометрической функции:

$$ 3\cos 2x-4\sin 2x=5\left(\frac35\cos 2x-\frac45\sin 2x\right). $$

Пусть $$\cos\varphi=\frac35$$ и $$\sin\varphi=\frac45$$. Такой угол существует, так как

$$ \left(\frac35\right)^2+\left(\frac45\right)^2=1. $$

Тогда

$$ 3\cos 2x-4\sin 2x=5(\cos\varphi\cos 2x-\sin\varphi\sin 2x)=5\cos(2x+\varphi). $$

Так как

$$ -1\le \cos(2x+\varphi)\le 1, $$

то

$$ -5\le 5\cos(2x+\varphi)\le 5. $$

Следовательно, наименьшее значение функции равно $$-5$$, а наибольшее — $$5$$.

Ответ

$$y_{\min}=-5,\quad y_{\max}=5.$$