Упр.697 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $$y=3\cos 2x-4\sin 2x$$.

Представим выражение в виде одной тригонометрической функции:

$$3\cos 2x-4\sin 2x=5\left(\frac35\cos 2x-\frac45\sin 2x\right).$$

Пусть $$\cos\varphi=\frac35,\qquad \sin\varphi=\frac45.$$

Тогда

$$\frac35\cos 2x-\frac45\sin 2x=\cos\varphi\cos 2x-\sin\varphi\sin 2x=\cos(\varphi+2x),$$

значит

$$y=3\cos 2x-4\sin 2x=5\cos(\varphi+2x).$$

Так как $$-1\le \cos(\varphi+2x)\le 1,$$ то

$$-5\le y\le 5.$$

Ответ: $$y_{\min}=-5,\quad y_{\max}=5.$$