Упр.694 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$y=\sqrt{\sin x+1}$$
2. $$y=\sqrt{\cos x-1}$$
3. $$y=\lg\sin x$$
4. $$y=\sqrt{2\cos x-1}$$
5. $$y=\sqrt{1-2\sin x}$$
6. $$y=\ln\cos x$$

Найдём область определения каждой функции.

1. $$y=\sqrt{\sin x+1}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$\sin x+1\ge 0.$$

   Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то неравенство выполняется при любых $$x.$$

   Ответ: $$x\in \mathbb{R}.$$

2. $$y=\sqrt{\cos x-1}$$

   Требуется:

   $$\cos x-1\ge 0,$$

   то есть

   $$\cos x\ge 1.$$

   Это возможно только при

   $$\cos x=1,$$

   значит,

   $$x=2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   Ответ: $$x=2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

3. $$y=\lg(\sin x)$$

   Логарифм определён, когда его аргумент положителен:

   $$\sin x>0.$$

   Следовательно,

   $$2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   Ответ: $$2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

4. $$y=\sqrt{2\cos x-1}$$

   Нужно, чтобы

   $$2\cos x-1\ge 0,$$

   то есть

   $$\cos x\ge \frac12.$$

   Отсюда

   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   Ответ: $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

5. $$y=\sqrt{1-2\sin x}$$

   Требуется:

   $$1-2\sin x\ge 0,$$

   то есть

   $$\sin x\le \frac12.$$

   Следовательно,

   $$-\frac{7\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   Ответ: $$-\frac{7\pi}{6}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

6. $$y=\ln(\cos x)$$

   Для логарифма нужно, чтобы

   $$\cos x>0.$$

   Значит,

   $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   Ответ: $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$