Упр.693 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

693. Найти область определения функции:
     1. $$y=\frac{1}{\cos x}$$;
     2. $$y=\frac{2}{\sin x}$$;
     3. $$y=\frac{\operatorname{tg}x}{3}$$;
     4. $$y=\operatorname{tg}5x$$.

1) Для функции $$y=\frac{1}{\cos x}$$ знаменатель не должен быть равен нулю:

$$\cos x\ne 0.$$

Это выполняется при

$$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

2) Для функции $$y=\frac{2}{\sin x}$$ нужно, чтобы

$$\sin x\ne 0.$$

Следовательно,

$$x\ne \pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

3) Для функции $$y=\tg \frac{x}{3}$$ тангенс определён, когда его аргумент не равен $$\frac{\pi}{2}+\pi k$$:

$$\frac{x}{3}\ne \frac{\pi}{2}+\pi k.$$

Умножим на $$3$$:

$$x\ne \frac{3\pi}{2}+3\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

4) Для функции $$y=\tg 5x$$ имеем условие

$$5x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k.$$

Тогда

$$x\ne \frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5},\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

$$\begin{aligned} 1)&\ x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z};\\ 2)&\ x\ne \pi k,\quad k\in \mathbb{Z};\\ 3)&\ x\ne \frac{3\pi}{2}+3\pi k,\quad k\in \mathbb{Z};\\ 4)&\ x\ne \frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5},\quad k\in \mathbb{Z}. \end{aligned}$$