Упр.692 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти множество значений функции:
   1) $$y=1+\sin x$$;
   2) $$y=1-\cos x$$;
   3) $$y=2\sin x+3$$;
   4) $$y=1-4\cos 2x$$;
   5) $$y=\sin 2x\cos 2x+2$$;
   6) $$y=\frac{1}{2}\sin x\cos x-1$$.

1) Так как $$-1 \le \sin x \le 1,$$ то

$$0 \le 1+\sin x \le 2.$$

Следовательно,

$$E(y)=[0;2].$$

2) Так как $$-1 \le \cos x \le 1,$$ то

$$0 \le 1-\cos x \le 2.$$

Следовательно,

$$E(y)=[0;2].$$

3) Так как $$-1 \le \sin x \le 1,$$ то

$$-2 \le 2\sin x \le 2.$$

Тогда

$$1 \le 2\sin x+3 \le 5.$$

Следовательно,

$$E(y)=[1;5].$$

4) Так как $$-1 \le \cos 2x \le 1,$$ то

$$-4 \le -4\cos 2x \le 4.$$

Тогда

$$-3 \le 1-4\cos 2x \le 5.$$

Следовательно,

$$E(y)=[-3;5].$$

5) Используем формулу $$\sin 2x \cos 2x=\frac{1}{2}\sin 4x.$$ Тогда

$$y=\frac{1}{2}\sin 4x+2.$$

Так как $$-1 \le \sin 4x \le 1,$$ то

$$-\frac{1}{2} \le \frac{1}{2}\sin 4x \le \frac{1}{2}.$$

Следовательно,

$$\frac{3}{2} \le y \le \frac{5}{2}.$$

Значит,

$$E(y)=\left[\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right].$$

6) Используем формулу $$\sin x \cos x=\frac{1}{2}\sin 2x.$$ Тогда

$$y=\frac{1}{2}\sin x \cos x-1=\frac{1}{4}\sin 2x-1.$$

Так как $$-1 \le \sin 2x \le 1,$$ то

$$-\frac{1}{4} \le \frac{1}{4}\sin 2x \le \frac{1}{4}.$$

Следовательно,

$$-\frac{5}{4} \le y \le -\frac{3}{4}.$$

Значит,

$$E(y)=\left[-\frac{5}{4};-\frac{3}{4}\right].$$

Ответ

1) $$[0;2]$$; 2) $$[0;2]$$; 3) $$[1;5]$$; 4) $$[-3;5]$$; 5) $$\left[\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right]$$; 6) $$\left[-\frac{5}{4};-\frac{3}{4}\right].$$