Упр.691 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти область определения функции:
   1. $$y=\sin 2x$$;
   2. $$y=\cos \frac{x}{2}$$;
   3. $$y=\cos \frac{1}{x}$$;
   4. $$y=\sin \frac{2}{x}$$;
   5. $$y=\sin\sqrt{x}$$;
   6. $$y=\cos\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$$.

Функции $$\sin a$$ и $$\cos a$$ определены при любых значениях $$a$$, поэтому ограничения на область определения возникают только там, где есть дробь или корень.

1. $$y=\sin 2x$$

   Аргумент синуса может принимать любые действительные значения, значит

   $$x\in \mathbb{R}.$$

2. $$y=\cos \frac{x}{2}$$

   Аргумент косинуса может быть любым действительным числом, поэтому

   $$x\in \mathbb{R}.$$

3. $$y=\cos \frac{1}{x}$$

   Выражение $$\frac{1}{x}$$ имеет смысл при $$x\ne 0$$, значит

   $$x\ne 0.$$

4. $$y=\sin \frac{2}{x}$$

   Дробь $$\frac{2}{x}$$ определена при $$x\ne 0$$, следовательно

   $$x\ne 0.$$

5. $$y=\sin \sqrt{x}$$

   Корень $$\sqrt{x}$$ существует при $$x\ge 0$$, значит

   $$x\ge 0.$$

6. $$y=\cos \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель не равен нулю:

   $$\frac{x-1}{x+1}\ge 0,\qquad x\ne -1.$$

   Решаем неравенство методом интервалов:

   $$\frac{x-1}{x+1}\ge 0 \;\;\Longrightarrow\;\; x<-1 \text{ или } x\ge 1.$$

   Точка $$x=-1$$ и так не входит в найденные промежутки, поэтому область определения:

   $$x<-1 \text{ или } x\ge 1.$$

Ответ: 1) $$x\in \mathbb{R}$$; 2) $$x\in \mathbb{R}$$; 3) $$x\ne 0$$; 4) $$x\ne 0$$; 5) $$x\ge 0$$; 6) $$x<-1$$ или $$x\ge 1$$.