Упр.689 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 689 Найти все значения а, при которых уравнение sin 2х — 2а корень 2 (sin х + cos х) + 1 — 6а2 = О имеет корни, и решить это уравнение. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 alim10-11 689 1111

Преобразуем уравнение:

$$\sin 2x-2a\sqrt2(\sin x+\cos x)+1-6a^2=0.$$

Используем формулы:

$$\sin 2x=\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right),$$

$$\sin x+\cos x=\sqrt2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)-2a\sqrt2\cdot \sqrt2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1-6a^2=0,$$

$$\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)-4a\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1-6a^2=0.$$

Положим

$$y=\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)=2\cos^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-1=2y^2-1,$$

и получаем квадратное уравнение:

$$2y^2-4ay-6a^2=0.$$

Разделим на $2$:

$$y^2-2ay-3a^2=0.$$

Решим его:

$$D=4a^2+12a^2=16a^2,$$

$$y=\frac{2a\pm 4|a|}{2}.$$

Корни удобно записать так:

$$y_1=-a,\qquad y_2=3a.$$

Значит, нужно, чтобы хотя бы одно из чисел $-a$ или $3a$ принадлежало отрезку $[-1;1]$.

Это возможно при

$$-1\le a\le 1.$$

Теперь найдём решения уравнения.

1) Если $$-1\le -a\le 1,$$ то

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-a,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{4}\pm \arccos(-a)+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

2) Если $$-1\le 3a\le 1,$$ то

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=3a,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{4}\pm \arccos(3a)+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Учитывая области допустимых значений для аргументов арккосинуса, получаем:

при $$-\frac13\le a\le \frac13$$ подходят оба семейства решений;

при $$\frac13<|a|\le 1$$ подходит только первое семейство.

Ответ

Уравнение имеет корни при $$-1\le a\le 1.$$

Если $$-\frac13\le a\le \frac13,$$ то

$$x=\frac{\pi}{4}\pm \arccos(-a)+2\pi k,\qquad x=\frac{\pi}{4}\pm \arccos(3a)+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Если $$\frac13<|a|\le 1,$$ то

$$x=\frac{\pi}{4}\pm \arccos(-a)+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$