Упр.689 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти все значения $$a$$, при которых уравнение $$\sin 2x-2a\sqrt{2}(\sin x+\cos x)+1-6a^2=0$$ имеет корни, и решить это уравнение.

Преобразуем уравнение:

$$\sin 2x-2a\sqrt2(\sin x+\cos x)+1-6a^2=0.$$

Используем формулы:

$$\sin 2x=\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right), \qquad \sin x+\cos x=\sqrt2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)-4a\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1-6a^2=0.$$

Положим

$$y=\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Так как

$$\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)=2\cos^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-1=2y^2-1,$$

получаем квадратное уравнение:

$$2y^2-4ay-6a^2=0,$$

или

$$y^2-2ay-3a^2=0.$$

Решим его:

$$D=4a^2+12a^2=16a^2,$$

$$y_{1,2}=\frac{2a\pm 4|a|}{2}.$$

Следовательно, корни по $$y$$ равны

$$y_1=-a,\qquad y_2=3a.$$

Чтобы уравнение имело решения, нужно, чтобы хотя бы одно из чисел $$-a$$ или $$3a$$ принадлежало отрезку $$[-1;1]$$.

Отсюда:

$$-1\le -a\le 1 \quad \text{или} \quad -1\le 3a\le 1,$$

то есть

$$-1\le a\le 1 \quad \text{и} \quad -\frac13\le a\le \frac13.$$

Значит, уравнение имеет корни при

$$-1\le a\le 1.$$

Теперь запишем решения.

1) Если $$-\frac13\le a\le \frac13,$$ то оба значения $$-a$$ и $$3a$$ лежат в $$[-1;1]$$, и получаем:

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-a,$$

или

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=3a.$$

Тогда

$$x=\frac{\pi}{4}\pm \arccos(-a)+2\pi k,$$

$$x=\frac{\pi}{4}\pm \arccos(3a)+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

2) Если $$-\!1\le a<-\frac13 \quad \text{или} \quad \frac13<a\le 1,$$ то только число $$-a$$ принадлежит отрезку $$[-1;1]$$, и остаётся:

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-a,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{4}\pm \arccos(-a)+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$-1\le a\le 1.$$ При $$-\frac13\le a\le \frac13$$

$$x=\frac{\pi}{4}\pm \arccos(-a)+2\pi k,\qquad x=\frac{\pi}{4}\pm \arccos(3a)+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$

При $$-\!1\le a<-\frac13 \quad \text{или} \quad \frac13<a\le 1$$

$$x=\frac{\pi}{4}\pm \arccos(-a)+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$