Упр.686 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\begin{cases}\dfrac{\sin x}{\sin y}=\dfrac{5}{3},\\[4pt]\dfrac{\cos x}{\cos y}=\dfrac{1}{3}\end{cases}$$
2. $$\begin{cases}\sin x\cos y=\dfrac{1}{2},\\[4pt]\cos x\sin y=-\dfrac{1}{2}\end{cases}$$

1)

$$\frac{\sin x}{\sin y}=\frac53,\qquad \frac{\cos x}{\cos y}=\frac13$$
Сложим почленно данные равенства:
$$\frac{\sin x}{\sin y}+\frac{\cos x}{\cos y}=\frac53+\frac13=2.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{\sin x\cos y+\cos x\sin y}{\sin y\cos y}=2.$$
Тогда
$$\frac{\sin(x+y)}{\sin y\cos y}=2.$$
Так как
$$2\sin y\cos y=\sin 2y,$$
получаем
$$\frac{\sin(x+y)}{\frac12\sin 2y}=2,$$
то есть
$$\sin(x+y)=\sin 2y.$$
Следовательно,
$$2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+3y}{2}=0.$$
Отсюда
$$\sin\frac{x-y}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos\frac{x+3y}{2}=0.$$

Если
$$\sin\frac{x-y}{2}=0,$$
то
$$x=y+2\pi n.$$
Подстановка в первое уравнение даёт
$$\frac{\sin(y+2\pi n)}{\sin y}=1\neq \frac53,$$
значит, этот случай не подходит.

Если
$$\cos\frac{x+3y}{2}=0,$$
то
$$x+3y=\pi+2\pi n,$$
то есть
$$x=\pi+2\pi n-3y.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\frac{\sin(\pi+2\pi n-3y)}{\sin y}=\frac53.$$
Так как
$$\sin(\pi-3y)=\sin 3y,$$
получаем
$$\frac{\sin 3y}{\sin y}=\frac53.$$
Используем формулу
$$\sin 3y=3\sin y-4\sin^3 y:$$
$$\frac{3\sin y-4\sin^3 y}{\sin y}=\frac53.$$
Тогда
$$3-4\sin^2 y=\frac53,$$
$$4\sin^2 y=\frac43,$$
$$\sin^2 y=\frac13.$$
Значит,
$$\sin y=\pm \frac1{\sqrt3},$$
то есть
$$y=(-1)^n\arcsin\frac1{\sqrt3}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
Тогда
$$x=\pi+2\pi n-3y =\pi+2\pi n-3(-1)^n\arcsin\frac1{\sqrt3}-3\pi n.$$
Итак,
$$x=\pi-3(-1)^n\arcsin\frac1{\sqrt3}+\pi(2-3n),\qquad n\in\mathbb Z.$$

2)

$$\sin x\cos y=\frac12,\qquad \cos x\sin y=-\frac12$$
Сложим уравнения:
$$\sin x\cos y+\cos x\sin y=0.$$
Тогда
$$\sin(x+y)=0,$$
откуда
$$x+y=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$\sin x\cos y-\cos x\sin y=1.$$
Следовательно,
$$\sin(x-y)=1,$$
то есть
$$x-y=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$
Решаем систему
$$\begin{cases} x+y=\pi n,\\ x-y=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k. \end{cases}$$
Складывая, получаем
$$2x=\pi n+\frac{\pi}{2}+2\pi k,$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi k+\frac{\pi n}{2}.$$
Вычитая, получаем
$$2y=\pi n-\frac{\pi}{2}-2\pi k,$$
$$y=-\frac{\pi}{4}-\pi k+\frac{\pi n}{2}.$$

Ответ

1) $$x=\pi-3(-1)^n\arcsin\frac1{\sqrt3}+\pi(2-3n),\quad y=(-1)^n\arcsin\frac1{\sqrt3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k+\frac{\pi n}{2},\quad y=-\frac{\pi}{4}-\pi k+\frac{\pi n}{2},\quad k,n\in\mathbb Z.$$