Упр.686 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

sinx/siny =5/3,
cosx/cosy=1/3;
2) система
sinxcosy=1/2,
cossiny=-1/2.

Подробный ответ

Из первого уравнения системы
$$\frac{\sin x}{\sin y}=\frac53,$$
а из второго
$$\frac{\cos x}{\cos y}=\frac13.$$
Сложим эти равенства:
$$\frac{\sin x}{\sin y}+\frac{\cos x}{\cos y}=\frac53+\frac13=2.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{\sin x\cos y+\cos x\sin y}{\sin y\cos y}=2.$$
Тогда
$$\frac{\sin(x+y)}{\sin y\cos y}=2.$$
Так как $$\sin 2y=2\sin y\cos y,$$ получаем
$$\frac{\sin(x+y)}{\frac12\sin 2y}=2,$$
откуда
$$\sin(x+y)=\sin 2y.$$
Перепишем это как
$$\sin(x+y)-\sin 2y=0.$$
По формуле разности синусов:
$$2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+3y}{2}=0.$$
Следовательно,
$$\sin\frac{x-y}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos\frac{x+3y}{2}=0.$$
1) Если $$\sin\frac{x-y}{2}=0,$$ то $$x=y+2\pi n.$$ Подстановка в первое уравнение даёт
$$\frac{\sin y}{\sin y}= \frac53,$$
что невозможно. Значит, этот случай не подходит.
2) Если $$\cos\frac{x+3y}{2}=0,$$ то
$$\frac{x+3y}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
то есть
$$x=\pi+2\pi n-3y.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\frac{\sin(\pi+2\pi n-3y)}{\sin y}=\frac53.$$
Так как $$\sin(\pi-3y)=\sin 3y,$$ получаем
$$\frac{\sin 3y}{\sin y}=\frac53.$$
Используем формулу тройного угла:
$$\frac{3\sin y-4\sin^3 y}{\sin y}=\frac53.$$
Тогда
$$3-4\sin^2 y=\frac53,$$
$$4\sin^2 y=\frac43,$$
$$\sin^2 y=\frac13,$$
$$\sin y=\pm\frac1{\sqrt3}.$$
Значит,
$$y=(-1)^n\arcsin\frac1{\sqrt3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Тогда
$$x=\pi+2\pi n-3y=\pi\pm 3\arcsin\frac1{\sqrt3}+\pi(2n-k),$$
что можно записать в виде
$$x=\pi\pm 3\arcsin\frac1{\sqrt3}+\pi m,\quad m\in\mathbb Z.$$
Из системы
$$\sin x\cos y=\frac12,\qquad \cos x\sin y=-\frac12$$
сложим уравнения:
$$\sin x\cos y+\cos x\sin y=0,$$
то есть
$$\sin(x+y)=0.$$
Следовательно,
$$x+y=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
или
$$x=\pi n-y.$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$\sin x\cos y-\cos x\sin y=1,$$
то есть
$$\sin(x-y)=1.$$
Значит,
$$x-y=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$
или
$$x=y+\frac{\pi}{2}+2\pi k.$$
Решим систему
$$ \begin{cases} x+y=\pi n,\\ x-y=\frac{\pi}{2}+2\pi k. \end{cases} $$
Складывая уравнения, получаем
$$2x=\pi n+\frac{\pi}{2}+2\pi k,$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi k+\frac{\pi n}{2}.$$
Тогда
$$y=\pi n-x=-\frac{\pi}{4}-\pi k+\frac{\pi n}{2}.$$