Упр.685 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

685 1) cистема
sinycosy=1/2,
sin2x+sin2y=0;
2) система
sinx+siny=1,
cosx-cosy= корень 3.

Подробный ответ

Из первого уравнения системы
$$\sin y \cos y=\frac12$$
получаем
$$\frac12\sin 2y=\frac12,\qquad \sin 2y=1.$$
Из второго уравнения
$$\sin 2x+\sin 2y=0$$
следует
$$\sin 2x+1=0,\qquad \sin 2x=-1.$$
Тогда
$$2x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
$$2y=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\qquad y=\frac{\pi}{4}+\pi k,\qquad n,k\in\mathbb Z.$$
Преобразуем систему
$$\sin x+\sin y=1,$$
$$\cos x-\cos y=\sqrt3.$$
Используем формулы суммы и разности:
$$2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}=1,$$
$$-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}=\sqrt3.$$
Делим второе уравнение на первое:
$$-\tg\frac{x-y}{2}=\sqrt3,\qquad \tg\frac{x-y}{2}=-\sqrt3.$$
Отсюда
$$\frac{x-y}{2}=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\qquad x-y=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\sin\left(y-\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right)+\sin y=1.$$
С учётом периодичности синуса:
$$\sin\left(y-\frac{2\pi}{3}\right)+\sin y=1.$$
Раскроем формулу:
$$\sin y\cos\frac{2\pi}{3}-\cos y\sin\frac{2\pi}{3}+\sin y=1,$$
$$-\frac12\sin y-\frac{\sqrt3}{2}\cos y+\sin y=1,$$
$$\frac12\sin y-\frac{\sqrt3}{2}\cos y=1.$$
Это равносильно
$$\sin\left(y-\frac{\pi}{3}\right)=1.$$
Тогда
$$y-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
$$y=\frac{5\pi}{6}+2\pi n.$$
Теперь найдём $x$:
$$x=y-\frac{2\pi}{3}+2\pi n=\frac{5\pi}{6}-\frac{4\pi}{6}+2\pi n=\frac{\pi}{6}+2\pi n.$$