Упр.685 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

685. Решить систему уравнений:
     а) $$\begin{cases} \sin y\cos y=\frac{1}{2},\\ \sin 2x+\sin 2y=0; \end{cases}$$
     б) $$\begin{cases} \sin x+\sin y=1,\\ \cos x-\cos y=\sqrt{3}. \end{cases}$$

1) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \sin y \cos y=\dfrac12,\\ \sin 2x+\sin 2y=0. \end{cases}$$

Так как $$\sin 2y=2\sin y\cos y,$$ то из первого уравнения получаем

$$\sin 2y=1.$$

Тогда второе уравнение системы принимает вид

$$\sin 2x+1=0,$$

то есть

$$\sin 2x=-1.$$

Решаем по отдельности:

$$2x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n.$$

Аналогично

$$2y=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

следовательно,

$$y=\dfrac{\pi}{4}+\pi k.$$

2) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \sin x+\sin y=1,\\ \cos x-\cos y=\sqrt3. \end{cases}$$

Используем формулы преобразования суммы в произведение:

$$\begin{cases} 2\sin\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}=1,\\ -2\sin\dfrac{x+y}{2}\sin\dfrac{x-y}{2}=\sqrt3. \end{cases}$$

Разделим второе уравнение на первое:

$$-\tg\dfrac{x-y}{2}=\sqrt3,$$

откуда

$$\tg\dfrac{x-y}{2}=-\sqrt3.$$

Значит,

$$\dfrac{x-y}{2}=-\dfrac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$x=y-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

Подставим это в первое уравнение:

$$\sin\left(y-\dfrac{2\pi}{3}\right)+\sin y=1.$$

Раскроем синус разности:

$$\sin y\cos\dfrac{2\pi}{3}-\cos y\sin\dfrac{2\pi}{3}+\sin y=1.$$

Так как $$\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac12,$$ $$\sin\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2},$$ получаем

$$-\dfrac12\sin y-\dfrac{\sqrt3}{2}\cos y+\sin y=1,$$

то есть

$$\dfrac12\sin y-\dfrac{\sqrt3}{2}\cos y=1.$$

Левая часть равна

$$\sin\left(y-\dfrac{\pi}{3}\right),$$

поэтому

$$\sin\left(y-\dfrac{\pi}{3}\right)=1.$$

Следовательно,

$$y-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

откуда

$$y=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k.$$

Тогда

$$x=y-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n=\dfrac{5\pi}{6}-\dfrac{4\pi}{6}+2\pi(n+k)=\dfrac{\pi}{6}+2\pi(n+k).$$

Ответ

1) $$x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\quad y=\dfrac{\pi}{4}+\pi k,\quad n,k\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\dfrac{\pi}{6}+2\pi m,\quad y=\dfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad m,k\in\mathbb Z.$$