Упр.684 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

$$|\cos x|-\cos 3x=\sin 2x$$

Рассмотрим уравнение $$|\cos x|-\cos 3x=\sin 2x.$$

Разберём два случая.

1) Если $$\cos x<0$$

Тогда $$|\cos x|=-\cos x,$$ и уравнение принимает вид

$$-\cos x-\cos 3x=\sin 2x.$$

Преобразуем сумму косинусов:

$$-(\cos x+\cos 3x)=\sin 2x,$$

$$-2\cos 2x\cos x=\sin 2x.$$

Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ получаем

$$-2\cos x(\cos 2x+\sin x)=0.$$

Поскольку $$\cos x<0,$$ то $$\cos x\neq 0,$$ значит

$$\cos 2x+\sin x=0.$$

Подставим $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:

$$1-2\sin^2 x+\sin x=0,$$

$$2\sin^2 x-\sin x-1=0.$$

Пусть $$y=\sin x$$. Тогда

$$2y^2-y-1=0,$$

$$D=1+8=9,$$

$$y_{1}=\frac{1-3}{4}=-\frac12,\qquad y_{2}=\frac{1+3}{4}=1.$$

Получаем:

$$\sin x=-\frac12 \quad \text{или} \quad \sin x=1.$$

Из условия $$\cos x<0$$ подходит только

$$\sin x=-\frac12,$$

откуда

$$x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Если $$\cos x>0$$

Тогда $$|\cos x|=\cos x,$$ и уравнение имеет вид

$$\cos x-\cos 3x=\sin 2x.$$

Используем формулу

$$\cos x-\cos 3x=2\sin 2x\sin x.$$

Тогда

$$2\sin 2x\sin x=\sin 2x,$$

$$\sin 2x(2\sin x-1)=0.$$

Отсюда:

1. $$\sin 2x=0,$$ то есть $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$
2. $$2\sin x-1=0,$$ то есть $$\sin x=\frac12,$$ откуда $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$$ или $$x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n.$$

С учётом условия $$\cos x>0$$ остаются только

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

и

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Объединяя все найденные решения, получаем:

$$x=2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x=2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$