Упр.682 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

$$\cos^2 x+\cos^2 2x+\cos^2 3x=\frac{3}{2}$$

Преобразуем левую часть, используя формулу $$\cos^2 t=\frac{1+\cos 2t}{2}$$:

$$\cos^2 x+\cos^2 2x+\cos^2 3x=\frac32$$

$$\frac12(\cos 2x+1)+\frac12(\cos 4x+1)+\frac12(\cos 6x+1)=\frac32$$

$$\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x=0$$

Сгруппируем с помощью формулы суммы косинусов:

$$\cos 2x+\cos 6x=2\cos 4x\cos 2x$$

Тогда

$$2\cos 4x\cos 2x+\cos 4x=0$$

$$\cos 4x(2\cos 2x+1)=0$$

Отсюда:

$$\cos 4x=0$$

или

$$2\cos 2x+1=0$$

1) Если $$\cos 4x=0$$, то

$$4x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{4}k,\quad k\in\mathbb Z$$

2) Если $$2\cos 2x+1=0$$, то

$$\cos 2x=-\frac12$$

$$2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{4}k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$