Упр.681 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

2) sin 2x — cos 2x = tg x.

Подробный ответ

1) $$\sin 2x+\cos 2x=2\tg x+1$$

Используем формулы $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:

$$ 2\sin x\cos x+\cos^2 x-\sin^2 x=2\tg x+1 $$
$$ 2\sin x\cos x+\cos^2 x-\sin^2 x-2\tg x-1=0 $$
$$ 2\sin x\cos x-2\sin^2 x-\frac{2\sin x}{\cos x}=0 $$
$$ 2\sin x\left(\cos x-\sin x-\frac{1}{\cos x}\right)=0 $$

Отсюда:

$$ 2\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x-\sin x-\frac{1}{\cos x}=0 $$

1) $$\sin x=0$$, значит

$$ x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

2) Умножим второе уравнение на $$\cos x$$:

$$ \cos^2 x-\sin x\cos x-1=0 $$
$$ -\sin x\cos x-\sin^2 x=0 $$
$$ -\sin x(\cos x+\sin x)=0 $$

Отсюда либо $$\sin x=0$$, либо $$\cos x+\sin x=0$$. Второе даёт

$$ \tg x=-1 $$
$$ x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

Итак, для первого уравнения:

$$ x=\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

2) $$\sin 2x-\cos 2x=\tg x$$

Преобразуем левую часть:

$$ 2\sin x\cos x-(\cos^2 x-\sin^2 x)=\tg x $$
$$ 2\sin x\cos x-\cos^2 x+\sin^2 x-\tg x=0 $$
$$ 2\sin x\cos x-\cos^2 x+\sin^2 x-\frac{\sin x}{\cos x}=0 $$

Умножим на $$\cos x$$:

$$ 2\sin x\cos^2 x-\cos^3 x+\sin^2 x\cos x-\sin x=0 $$
$$ (\sin x+\cos x)(\sin 2x-1)=0 $$

Тогда:

1) $$\sin x+\cos x=0$$, откуда

$$ \tg x=-1 $$
$$ x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

2) $$\sin 2x-1=0$$, то есть

$$ \sin 2x=1 $$
$$ 2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n $$
$$ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

Объединяя, получаем

$$ x=\pm\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$