Упр.681 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sin 2x+\cos 2x=2\tg x+1$$
2. $$\sin 2x-\cos 2x=\tg x$$

1) $$\sin 2x+\cos 2x=2\tg x+1$$

Преобразуем левую часть:

$$2\sin x\cos x+\cos^2 x-\sin^2 x=2\tg x+1$$

$$2\sin x\cos x+(1-\sin^2 x)-\sin^2 x-2\tg x-1=0$$

$$2\sin x\cos x-2\sin^2 x-2\tg x=0$$

$$2\sin x\left(\cos x-\sin x-\frac{1}{\cos x}\right)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0$$

или

$$\cos x-\sin x-\frac{1}{\cos x}=0$$

Умножим второе уравнение на $$\cos x$$:

$$\cos^2 x-\sin x\cos x-1=0$$

$$-\sin x\cos x-\sin^2 x=0$$

$$-\sin x(\cos x+\sin x)=0$$

Значит,

$$\sin x=0$$

или

$$\cos x+\sin x=0$$

Тогда

$$x=\pi n$$

или

$$\tg x=-1,\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$

где $$n\in\mathbb{Z}$$.

2) $$\sin 2x-\cos 2x=\tg x$$

Преобразуем:

$$2\sin x\cos x-(\cos^2 x-\sin^2 x)=\tg x$$

$$2\sin x\cos x-\cos^2 x+\sin^2 x-\tg x=0$$

$$2\sin x\cos x-1+2\sin^2 x-\frac{\sin x}{\cos x}=0$$

Умножим на $$\cos x$$:

$$2\sin x\cos^2 x-\cos^3 x+2\sin^2 x\cos x-\sin x=0$$

$$2\sin x\cos x(\cos x+\sin x)-(\cos x+\sin x)=0$$

$$(\cos x+\sin x)(2\sin x\cos x-1)=0$$

$$(\cos x+\sin x)(\sin 2x-1)=0$$

Отсюда:

$$\cos x+\sin x=0$$

или

$$\sin 2x=1$$

Первое даёт:

$$\tg x=-1,\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$

Второе даёт:

$$2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$

где $$n\in\mathbb{Z}$$.

Ответ

1) $$x=\pi n,\; -\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$

2) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; -\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$$