Упр.680 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$2\cos 3x=3\sin x+\cos x$$
2. $$\cos 3x-\cos 2x=\sin 3x$$

1) Преобразуем уравнение:

$$2\cos 3x=3\sin x+\cos x$$

$$2(\cos 3x+\cos x)=3(\sin x+\cos x)$$

Используем формулу суммы косинусов:

$$2\cdot 2\cos 2x\cos x=3(\sin x+\cos x)$$

$$4\cos 2x\cos x=3(\sin x+\cos x)$$

$$4(\cos^2 x-\sin^2 x)\cos x=3(\sin x+\cos x)$$

$$(\sin x+\cos x)(4\cos^2 x-4\sin x\cos x-3)=0$$

Отсюда:

$$\sin x+\cos x=0$$

или

$$4\cos^2 x-4\sin x\cos x-3=0$$

Делим второе уравнение на $$\cos^2 x$$:

$$4-4\tan x-3\tan^2 x=0$$

$$3\tan^2 x+4\tan x-4=0$$

Пусть $$t=\tan x$$. Тогда

$$3t^2+4t-4=0$$

$$D=4^2-4\cdot 3\cdot(-4)=16+48=64$$

$$t_{1,2}=\frac{-4\pm 8}{6}$$

$$t_1=-2,\qquad t_2=\frac23$$

Тогда

$$\tan x=-1,\qquad \tan x=-2,\qquad \tan x=\frac23$$

Следовательно,

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad x=-\arctan 2+\pi n,\qquad x=\arctan\frac23+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z$$

2) Преобразуем уравнение:

$$\cos 3x-\cos 2x=\sin 3x$$

Используем формулы тройного угла:

$$4\cos^3 x-3\cos x-(2\cos^2 x-1)=3\sin x-4\sin^3 x$$

$$4(\cos^3 x+\sin^3 x)-3(\cos x+\sin x)-(\cos 2x)=0$$

После преобразований получаем:

$$(\cos x+\sin x)(2\cos^2 x-2\sin x\cos x-1)=0$$

Отсюда:

$$\cos x+\sin x=0$$

или

$$2\cos^2 x-2\sin x\cos x-1=0$$

Первое уравнение даёт:

$$\tan x=-1$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z$$

Во втором случае делим на $$\cos^2 x$$:

$$2-2\tan x-\tan^2 x=0$$

$$\tan^2 x+2\tan x-2=0$$

$$\tan x=-1\pm \sqrt3$$

Значит,

$$x=\arctan(-1+\sqrt3)+\pi n,\qquad x=\arctan(-1-\sqrt3)+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=-\arctan 2+\pi n,\; x=\arctan\frac23+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=\arctan(-1+\sqrt3)+\pi n,\; x=\arctan(-1-\sqrt3)+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$