Упр.679 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\cos x \sin 5x=-1$$; $$\sin x \cos 3x=-1$$.

1) Рассмотрим уравнение $$\cos x \sin 5x=-1.$$

Произведение двух чисел, каждое из которых по модулю не больше $$1$$, равно $$-1$$ только в двух случаях:

• $$\cos x=1,\quad \sin 5x=-1;$$
• $$\cos x=-1,\quad \sin 5x=1.$$

1. Если $$\cos x=1,$$ то $$x=2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Тогда из $$\sin 5x=-1$$ получаем

$$5x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$x=-\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5}.$$

Эти значения не совпадают с $$x=2\pi k,$$ значит, решений нет.

2. Если $$\cos x=-1,$$ то $$x=\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Тогда из $$\sin 5x=1$$ получаем

$$5x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5}.$$

Эти значения не совпадают с $$x=\pi+2\pi k,$$ значит, решений нет.

Следовательно, уравнение $$\cos x\sin 5x=-1$$ не имеет решений.

2) Рассмотрим уравнение $$\sin x \cos 3x=-1.$$

Произведение равно $$-1$$ только в двух случаях:

• $$\sin x=1,\quad \cos 3x=-1;$$
• $$\sin x=-1,\quad \cos 3x=1.$$

1. Если $$\sin x=1,$$ то $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Из $$\cos 3x=-1$$ получаем

$$3x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}.$$

Эти значения не совпадают, значит, решений нет.

2. Если $$\sin x=-1,$$ то $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Из $$\cos 3x=1$$ получаем

$$3x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$x=\frac{2\pi n}{3}.$$

Эти значения также не совпадают, значит, решений нет.

Следовательно, уравнение $$\sin x\cos 3x=-1$$ не имеет решений.

Ответ: 1) решений нет; 2) решений нет.