Упр.678 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

678. Решить уравнение:
     1. $$\frac{\sin 2x}{\sin x}=0$$;
     2. $$\frac{\sin 3x}{\sin x}=0$$;
     3. $$\frac{\cos 2x}{\cos x}=0$$;
     4. $$\frac{\cos 3x}{\cos x}=0$$;
     5. $$\frac{\sin x}{\sin 5x}=0$$;
     6. $$\frac{\cos x}{\cos 7x}=0$$.

1) $$\frac{\sin 2x}{\sin x}=0$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$\sin 2x=0,\qquad \sin x\ne 0.$$

Из $$\sin 2x=0$$ получаем

$$2x=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$x=\frac{\pi n}{2}.$$

Условие $$\sin x\ne 0$$ исключает значения $$x=\pi n$$, поэтому остаются только нечётные значения $$n$$:

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\frac{\sin 3x}{\sin x}=0$$

$$\sin 3x=0,\qquad \sin x\ne 0.$$

Из $$\sin 3x=0$$:

$$3x=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

значит

$$x=\frac{\pi n}{3}.$$

Исключаем значения, при которых $$\sin x=0$$, то есть $$x=\pi k$$. Это соответствует $$n=3k$$. Тогда

$$x=\frac{\pi n}{3},\qquad n\in\mathbb Z,\quad n\ne 3k.$$

3) $$\frac{\cos 2x}{\cos x}=0$$

$$\cos 2x=0,\qquad \cos x\ne 0.$$

Из $$\cos 2x=0$$:

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

следовательно,

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

При этих значениях $$\cos x\ne 0$$, поэтому все они подходят.

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$

4) $$\frac{\cos 3x}{\cos x}=0$$

$$\cos 3x=0,\qquad \cos x\ne 0.$$

Из $$\cos 3x=0$$:

$$3x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$

значит

$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}.$$

Проверка условия $$\cos x\ne 0$$ показывает, что при этих значениях знаменатель не обращается в нуль.

$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\qquad n\in\mathbb Z.$$

5) $$\frac{\sin x}{\sin 5x}=0$$

Нужно, чтобы

$$\sin x=0,\qquad \sin 5x\ne 0.$$

Из $$\sin x=0$$ получаем

$$x=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Но тогда

$$\sin 5x=\sin 5\pi n=0,$$

то есть условие $$\sin 5x\ne 0$$ не выполняется.

Решений нет.

6) $$\frac{\cos x}{\cos 7x}=0$$

Нужно, чтобы

$$\cos x=0,\qquad \cos 7x\ne 0.$$

Из $$\cos x=0$$:

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$\cos 7x=\cos\left(7\cdot\frac{\pi}{2}+7\pi n\right)=0,$$

поэтому условие $$\cos 7x\ne 0$$ не выполняется.

Решений нет.