Упр.673 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sin^2 x+\sin^2 2x=1$$
2. $$\sin^2 x+\cos^2 2x=1$$
3. $$\sin 4x=6\cos^2 2x-4$$
4. $$2\cos^2 3x+\sin 5x-1$$

1) $$\sin^2 x+\sin^2 2x=1$$

Так как $$\sin^2 2x=4\sin^2 x\cos^2 x,$$ получаем

$$\sin^2 x+4\sin^2 x\cos^2 x=1.$$

Заменим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

$$1-\cos^2 x+4(1-\cos^2 x)\cos^2 x=1,$$

$$\cos^2 x(4\sin^2 x-1)=0.$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 4\sin^2 x-1=0.$$

1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

2) $$\sin x=\pm \frac12 \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,$$

где $$n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin^2 x+\cos^2 2x=1$$

Используем $$\cos^2 2x=1-\sin^2 2x$$:

$$\sin^2 x+1-\sin^2 2x=1,$$

$$\sin^2 x=\sin^2 2x=4\sin^2 x\cos^2 x.$$

Тогда

$$\sin^2 x(1-4\cos^2 x)=0.$$

Отсюда:

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$

2) $$\cos^2 x=\frac14 \Rightarrow \cos x=\pm \frac12.$$

Следовательно,

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

Эти решения можно записать короче как

$$x=\pi n,\quad x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,$$

где $$n\in\mathbb Z.$$

3) $$\sin 4x=6\cos^2 2x-4$$

Преобразуем левую часть:

$$2\sin 2x\cos 2x=6\cos^2 2x-4.$$

Перенесём всё в одну сторону и разделим на $$\cos^2 2x$$, если $$\cos 2x\neq 0$$:

$$2\tan 2x-6+4\sec^2 2x=0.$$

Удобнее сразу положить $$y=\tan 2x$$. Тогда

$$2y-2+4y^2=0,$$

$$2y^2+y-1=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=1+8=9,$$

$$y_1=-1,\qquad y_2=\frac12.$$

Значит,

$$\tan 2x=-1 \quad \text{или} \quad \tan 2x=\frac12.$$

Отсюда

$$2x=-\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},$$

$$2x=\arctan \frac12+\pi n \Rightarrow x=\frac12\arctan \frac12+\frac{\pi n}{2},$$

где $$n\in\mathbb Z.$$

4) $$2\cos^2 3x+\sin 5x=1$$

Перенесём единицу влево и используем $$1-\cos^2 3x=\sin^2 3x$$:

$$2\cos^2 3x+\sin 5x-1=0,$$

$$\cos^2 3x-\sin^2 3x+\sin 5x=0,$$

$$\cos 6x+\sin 5x=0.$$

Так как $$\sin 5x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-5x\right),$$ получаем

$$\cos 6x+\cos\left(\frac{\pi}{2}-5x\right)=0.$$

По формуле суммы косинусов:

$$2\cos\left(\frac{6x+\frac{\pi}{2}-5x}{2}\right)\cos\left(\frac{6x-\left(\frac{\pi}{2}-5x\right)}{2}\right)=0,$$

$$2\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{11x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0.$$

Следовательно,

$$\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(\frac{11x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0.$$

1) $$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

2) $$\frac{11x}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{3\pi}{22}+\frac{2\pi n}{11},$$

где $$n\in\mathbb Z.$$

Ответ: 1) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \ x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n;\quad$$ 2) $$x=\pi n,\ \ x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n;\quad$$ 3) $$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ \ x=\frac12\arctan\frac12+\frac{\pi n}{2};\quad$$ 4) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \ x=\frac{3\pi}{22}+\frac{2\pi n}{11},\ n\in\mathbb Z.$$