Упр.670 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) 1 + 3 cos x = sin 2x + 3 sin x.

1) Преобразуем уравнение:

$$1+2\sin x=\sin 2x+2\cos x$$

$$\sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x=2\sin x\cos x+2\cos x$$

$$\cos^2 x+\sin^2 x-2\sin x\cos x+2\sin x-2\cos x=0$$

$$\left(\cos x-\sin x\right)^2-2\left(\cos x-\sin x\right)=0$$

$$\left(\cos x-\sin x\right)\left(\cos x-\sin x-2\right)=0$$

Отсюда:

$$\cos x-\sin x=0$$

или

$$\cos x-\sin x-2=0.$$

Первое уравнение:

$$\cos x-\sin x=0$$

$$1-\tg x=0$$

$$\tg x=1$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Второе уравнение:

$$\cos x-\sin x=2.$$

Так как $$|\cos x-\sin x|\le \sqrt2,$$ то решений нет.

Значит,

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Преобразуем уравнение:

$$1+3\cos x=\sin 2x+3\sin x$$

$$\sin^2 x+\cos^2 x+3\cos x=2\sin x\cos x+3\sin x$$

$$\cos^2 x+\sin^2 x-2\sin x\cos x+3\cos x-3\sin x=0$$

$$\left(\cos x-\sin x\right)^2+3\left(\cos x-\sin x\right)=0$$

$$\left(\cos x-\sin x\right)\left(\cos x-\sin x+3\right)=0$$

Отсюда:

$$\cos x-\sin x=0$$

или

$$\cos x-\sin x+3=0.$$

Первое уравнение даёт:

$$\tg x=1,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Второе уравнение:

$$\cos x-\sin x=-3.$$

Но $$|\cos x-\sin x|\le \sqrt2,$$ значит, решений нет.

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$