Упр.670 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$1+2\sin x=\sin 2x+2\cos x$$
2. $$1+3\cos x=\sin 2x+3\sin x$$

1) Преобразуем уравнение:

$$1+2\sin x=\sin 2x+2\cos x$$

$$\cos^2 x+\sin^2 x+2\sin x=2\sin x\cos x+2\cos x$$

$$\cos^2 x+\sin^2 x-2\sin x\cos x+2\sin x-2\cos x=0$$

$$\left(\cos x-\sin x\right)^2-2\left(\cos x-\sin x\right)=0$$

$$\left(\cos x-\sin x\right)\left(\cos x-\sin x-2\right)=0$$

Отсюда:

$$\cos x-\sin x=0 \quad \Rightarrow \quad \tan x=1 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

или

$$\cos x-\sin x=2$$

Но $$\cos x-\sin x$$ не может быть равным $$2$$, так как его значения лежат в промежутке $$\left[-\sqrt2,\sqrt2\right]$$. Значит, второе уравнение решений не имеет.

2) Преобразуем уравнение:

$$1+3\cos x=\sin 2x+3\sin x$$

$$\cos^2 x+\sin^2 x+3\cos x=2\sin x\cos x+3\sin x$$

$$\cos^2 x+\sin^2 x-2\sin x\cos x+3\cos x-3\sin x=0$$

$$\left(\cos x-\sin x\right)^2+3\left(\cos x-\sin x\right)=0$$

$$\left(\cos x-\sin x\right)\left(\cos x-\sin x+3\right)=0$$

Следовательно:

$$\cos x-\sin x=0 \quad \Rightarrow \quad \tan x=1 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

или

$$\cos x-\sin x=-3$$

Но $$\cos x-\sin x$$ не может быть равным $$-3$$, так как его значения лежат в промежутке $$\left[-\sqrt2,\sqrt2\right]$$. Значит, второе уравнение решений не имеет.

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

2) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$