Упр.669 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- $$3\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x=0$$
- $$2\sin^2 x+3\sin x\cos x-2\cos^2 x=0$$
1) Разделим уравнение на $$\cos^2 x$$:
$$3\sin^2 x+\sin x\cos x-2\cos^2 x=0$$
$$3\tg^2 x+\tg x-2=0$$
Пусть $$y=\tg x$$. Тогда получаем квадратное уравнение:
$$3y^2+y-2=0$$
$$D=1+24=25$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{6}$$
$$y_1=-1,\qquad y_2=\frac{2}{3}$$
Тогда:
$$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$\tg x=\frac{2}{3} \Rightarrow x=\arctg\frac{2}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
2) Разделим уравнение на $$\cos^2 x$$:
$$2\sin^2 x+3\sin x\cos x-2\cos^2 x=0$$
$$2\tg^2 x+3\tg x-2=0$$
Пусть $$y=\tg x$$. Тогда:
$$2y^2+3y-2=0$$
$$D=9+16=25$$
$$y_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4}$$
$$y_1=-2,\qquad y_2=\frac{1}{2}$$
Следовательно:
$$\tg x=-2 \Rightarrow x=-\arctg 2+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$\tg x=\frac{1}{2} \Rightarrow x=\arctg\frac{1}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Ответ: 1) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg\frac{2}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; 2) $$x=-\arctg 2+\pi n,\ \arctg\frac{1}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.
