Упр.668 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

668. Решить уравнение:
     1) $$\sin 2x+2\cos 2x=1$$;
     2) $$\cos 2x+3\sin 2x=3$$.

1) $$\sin 2x+2\cos 2x=1$$

Используем формулы $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:

$$2\sin x\cos x+2(\cos^2 x-\sin^2 x)=\cos^2 x-\sin^2 x$$

$$2\sin x\cos x+\cos^2 x-3\sin^2 x=0$$

Делим на $$\cos^2 x$$:

$$2\tg x+1-3\tg^2 x=0$$

Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

$$3y^2-2y-1=0$$

$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16$$

$$y_{1,2}=\frac{2\pm 4}{6}$$

$$y_1=1,\qquad y_2=-\frac13$$

Следовательно,

$$\tg x=1 \quad \text{или} \quad \tg x=-\frac13$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=-\arctg\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$\cos 2x+3\sin 2x=3$$

Подставим формулы двойного угла:

$$\cos^2 x-\sin^2 x+6\sin x\cos x=3(\cos^2 x+\sin^2 x)$$

$$-2\cos^2 x-4\sin^2 x+6\sin x\cos x=0$$

Делим на $$2\cos^2 x$$:

$$-1-2\tg^2 x+3\tg x=0$$

Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

$$2y^2-3y+1=0$$

$$D=9-8=1$$

$$y_{1,2}=\frac{3\pm 1}{4}$$

$$y_1=\frac12,\qquad y_2=1$$

Следовательно,

$$\tg x=\frac12 \quad \text{или} \quad \tg x=1$$

Отсюда

$$x=\arctg\frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=-\arctg\frac13+\pi n,\ \ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$x=\arctg\frac12+\pi n,\ \ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$