Упр.665 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) cos2 3x — cos 3x cos 5x = 0;
3) cos x = cos 3x;
4) sin x sin 5x — sin2 5x = 0.

1. $$\sin 3x=\sin 5x$$
   $$\sin 3x-\sin 5x=0$$
   $$2\sin\frac{3x-5x}{2}\cos\frac{3x+5x}{2}=0$$
   $$-2\sin x\cos 4x=0$$
   Отсюда:
   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=0.$$
   Тогда
   $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z,$$
   или
   $$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,$$
   $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z.$$
2. $$\cos^2 3x-\cos 3x\cos 5x=0$$
   $$\cos 3x(\cos 3x-\cos 5x)=0$$
   $$\cos 3x\cdot\left(-2\sin\frac{3x+5x}{2}\sin\frac{3x-5x}{2}\right)=0$$
   $$2\cos 3x\sin 4x\sin x=0.$$
   Отсюда:
   $$\cos 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin 4x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0.$$
   Получаем
   $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z,$$
   $$x=\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z,$$
   $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
   Так как $$x=\pi n$$ входит в множество $$x=\frac{\pi n}{4},$$ окончательно:
   $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z.$$
3. $$\cos x=\cos 3x$$
   $$\cos x-\cos 3x=0$$
   $$-2\sin\frac{x+3x}{2}\sin\frac{x-3x}{2}=0$$
   $$2\sin 2x\sin x=0.$$
   Отсюда:
   $$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0.$$
   Но $$\sin x=0$$ уже содержится в решениях $$\sin 2x=0,$$ поэтому
   $$2x=\pi n,\ n\in\mathbb Z,$$
   $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$
4. $$\sin x\sin 5x-\sin^2 5x=0$$
   $$\sin 5x(\sin x-\sin 5x)=0$$
   $$\sin 5x\cdot 2\cos\frac{x+5x}{2}\sin\frac{x-5x}{2}=0$$
   $$-2\sin 5x\sin 3x\sin 2x=0.$$
   Отсюда:
   $$\sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \sin 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0.$$
   Значит,
   $$x=\frac{\pi n}{5},\ n\in\mathbb Z;$$
   $$x=\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z;$$
   $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\pi n,\ \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z$$
2) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ \frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z$$
3) $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$
4) $$x=\frac{\pi n}{5},\ \frac{\pi n}{3},\ \frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$