Упр.664 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$5\sin x+\cos x=5$$
2. $$4\sin x+3\cos x=6$$

1) Преобразуем уравнение:

$$5\sin x+\cos x=5$$

Используем формулы $$\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$$, $$\cos x=\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}$$, $$1=\cos^2 \frac{x}{2}+\sin^2 \frac{x}{2}$$:

$$10\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2} =5\cos^2 \frac{x}{2}+5\sin^2 \frac{x}{2}$$

$$10\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}-6\sin^2 \frac{x}{2}-4\cos^2 \frac{x}{2}=0$$

Разделим на $$\cos^2 \frac{x}{2}$$:

$$10\tg \frac{x}{2}-6\tg^2 \frac{x}{2}-4=0$$

Пусть $$y=\tg \frac{x}{2}$$. Тогда

$$6y^2-10y+4=0$$

$$3y^2-5y+2=0$$

$$D=25-24=1$$

$$y_1=\frac{5-1}{6}=\frac{2}{3}, \qquad y_2=\frac{5+1}{6}=1$$

Тогда

$$\tg \frac{x}{2}=\frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad x=2\arctg \frac{2}{3}+2\pi n,$$

$$\tg \frac{x}{2}=1 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

где $$n\in \mathbb{Z}$$.

2) Решим уравнение

$$4\sin x+3\cos x=6$$

Так как

$$4\sin x+3\cos x \le \sqrt{4^2+3^2}\,=5,$$

то левая часть не может быть равна $$6$$. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ

1) $$x=2\arctg \frac{2}{3}+2\pi n,\; x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$

2) Решений нет.