Упр.662 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\operatorname{tg}^{2}x+3\operatorname{tg}x=0$$
2. $$2\operatorname{tg}^{2}x-\operatorname{tg}x-3=0$$
3. $$\operatorname{tg}x-12\operatorname{ctg}x+1=0$$
4. $$\operatorname{tg}x+\operatorname{ctg}x=2$$

1. Пусть $$y=\tg x.$$ Тогда получаем

   $$y^2+3y=0$$

   $$y(y+3)=0$$

   Отсюда:

   $$y_1=0,\quad y_2=-3.$$

   Тогда

   $$\tg x=0 \Rightarrow x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   или

   $$\tg x=-3 \Rightarrow x=-\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. Пусть $$y=\tg x.$$ Тогда

   $$2y^2-y-3=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25,$$

   $$y_{1,2}=\frac{1\pm 5}{4}.$$

   Получаем

   $$y_1=-1,\quad y_2=\frac32.$$

   Значит,

   $$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   или

   $$\tg x=\frac32 \Rightarrow x=\arctg\frac32+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. Умножим уравнение на $$\tg x$$:

   $$\tg x-12\ctg x+1=0$$

   $$\tg^2 x-12+\tg x=0.$$

   Пусть $$y=\tg x.$$ Тогда

   $$y^2+y-12=0.$$

   Разложим на множители:

   $$(y+4)(y-3)=0.$$

   Отсюда

   $$y_1=-4,\quad y_2=3.$$

   Следовательно,

   $$\tg x=-4 \Rightarrow x=-\arctg 4+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   или

   $$\tg x=3 \Rightarrow x=\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. Умножим уравнение на $$\tg x$$:

   $$\tg x+\ctg x=2$$

   $$\tg^2 x-2\tg x+1=0.$$

   Получаем

   $$(\tg x-1)^2=0,$$

   значит

   $$\tg x=1.$$

   Тогда

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: 1) $$x=\pi n,\; -\arctg 3+\pi n;\quad n\in\mathbb Z.$$ 2) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; \arctg\frac32+\pi n;\quad n\in\mathbb Z.$$ 3) $$x=-\arctg 4+\pi n,\; \arctg 3+\pi n;\quad n\in\mathbb Z.$$ 4) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$