Упр.661 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) 8 cos2x — 12 sin x + 7 = 0.

1. $$6\sin^2 x-\cos x+6=0$$

   Заменим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

   $$6(1-\cos^2 x)-\cos x+6=0$$

   $$6\cos^2 x+\cos x-12=0$$

   Пусть $$y=\cos x$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

   $$6y^2+y-12=0$$

   $$D=1+4\cdot 6\cdot 12=289=17^2$$

   $$y_{1,2}=\frac{-1\pm 17}{12}$$

   $$y_1=-\frac{3}{2}, \quad y_2=\frac{4}{3}$$

   Оба значения не принадлежат промежутку $$[-1;1]$$, значит, корней нет.

2. $$8\cos^2 x-12\sin x+7=0$$

   Заменим $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:

   $$8(1-\sin^2 x)-12\sin x+7=0$$

   $$8\sin^2 x+12\sin x-15=0$$

   Пусть $$y=\sin x$$. Тогда:

   $$8y^2+12y-15=0$$

   $$D=12^2-4\cdot 8\cdot(-15)=624=16\cdot 39$$

   $$y_{1,2}=\frac{-12\pm 4\sqrt{39}}{16}=\frac{-3\pm \sqrt{39}}{4}$$

   Значение $$\frac{-3-\sqrt{39}}{4}<-1$$, поэтому оно не подходит.

   Остаётся:

   $$\sin x=\frac{-3+\sqrt{39}}{4}$$

   Тогда общее решение:

   $$x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt{39}-3}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) Корней нет.

2) $$x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt{39}-3}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$