Упр.660 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$2\sin^2 x+\sin x=0$$
2. $$3\sin^2 x-5\sin x-2=0$$
3. $$\cos^2 x-2\cos x=0$$
4. $$6\cos^2 x+7\cos x-3=0$$

1) $$2\sin^2 x+\sin x=0$$

Пусть $$y=\sin x$$. Тогда

$$2y^2+y=0$$

$$y(2y+1)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac12$$

Если $$\sin x=0$$, то

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Если $$\sin x=-\frac12$$, то

$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=\pi n,\; x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$3\sin^2 x-5\sin x-2=0$$

Пусть $$y=\sin x$$. Тогда

$$3y^2-5y-2=0$$

$$D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=25+24=49$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 7}{6}$$

Получаем:

$$y_1=2,\quad y_2=-\frac13$$

Значение $$\sin x=2$$ не подходит, так как $$|\sin x|\le 1$$.

Остаётся:

$$\sin x=-\frac13$$

$$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac13+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

3) $$\cos^2 x-2\cos x=0$$

Пусть $$y=\cos x$$. Тогда

$$y^2-2y=0$$

$$y(y-2)=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=2$$

Значение $$\cos x=2$$ не имеет решений, так как $$|\cos x|\le 1$$.

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

4) $$6\cos^2 x+7\cos x-3=0$$

Пусть $$y=\cos x$$. Тогда

$$6y^2+7y-3=0$$

$$D=7^2-4\cdot 6\cdot(-3)=49+72=121$$

$$y_{1,2}=\frac{-7\pm 11}{12}$$

Получаем:

$$y_1=\frac13,\quad y_2=-\frac32$$

Значение $$\cos x=-\frac32$$ не подходит, так как $$|\cos x|\le 1$$.

Остаётся:

$$\cos x=\frac13$$

Тогда

$$x=\pm \arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=\pm \arccos\frac13+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$