Упр.658 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) (1- корень 2 cosx)(1+2sin2xcos2x)=0.

1. $$\left(1+\sqrt{2}\cos x\right)\left(1-4\sin x\cos x\right)=0$$

   Тогда

   $$1+\sqrt{2}\cos x=0 \quad \text{или} \quad 1-4\sin x\cos x=0.$$

   1) $$\sqrt{2}\cos x=-1,$$

   $$\cos x=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   Отсюда

   $$x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

   2) $$1-4\sin x\cos x=0,$$

   $$4\sin x\cos x=1,$$

   $$2\sin 2x=1,$$

   $$\sin 2x=\frac12.$$

   Тогда

   $$2x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z},$$

   значит

   $$x=(-1)^k\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in \mathbb{Z}.$$

2. $$\left(1-\sqrt{2}\cos x\right)\left(1+2\sin 2x\cos 2x\right)=0$$

   Тогда

   $$1-\sqrt{2}\cos x=0 \quad \text{или} \quad 1+2\sin 2x\cos 2x=0.$$

   1) $$\sqrt{2}\cos x=1,$$

   $$\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},$$

   откуда

   $$x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

   2) $$1+2\sin 2x\cos 2x=0,$$

   $$1+\sin 4x=0,$$

   $$\sin 4x=-1.$$

   Следовательно,

   $$4x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z},$$

   то есть

   $$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi k,\; x=(-1)^k\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2},\; k\in \mathbb{Z}.$$

2) $$x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi k,\; x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2},\; k\in \mathbb{Z}.$$