Упр.658 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\left(1+\sqrt{2}\cos x\right)\left(1-4\sin x\cos x\right)=0$$
2. $$\left(1-\sqrt{2}\cos x\right)\left(1+2\sin 2x\cos 2x\right)=0$$

1) $$\left(1+\sqrt{2}\cos x\right)\left(1-4\sin x\cos x\right)=0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$1+\sqrt{2}\cos x=0 \quad \text{или} \quad 1-4\sin x\cos x=0.$$

Из первого уравнения:

$$\sqrt{2}\cos x=-1,$$

$$\cos x=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2},$$

$$x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Из второго уравнения:

$$1-4\sin x\cos x=0,$$

$$2\sin 2x=1,$$

$$\sin 2x=\frac{1}{2}.$$

Тогда

$$2x=(-1)^k\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z},$$

откуда

$$x=(-1)^k\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in \mathbb{Z}.$$

2) $$\left(1-\sqrt{2}\cos x\right)\left(1+2\sin 2x\cos 2x\right)=0$$

Произведение равно нулю, если

$$1-\sqrt{2}\cos x=0 \quad \text{или} \quad 1+2\sin 2x\cos 2x=0.$$

Из первого уравнения:

$$\sqrt{2}\cos x=1,$$

$$\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},$$

$$x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Из второго уравнения:

$$1+2\sin 2x\cos 2x=0,$$

$$1+\sin 4x=0,$$

$$\sin 4x=-1.$$

Тогда

$$4x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z},$$

откуда

$$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi k,\quad x=(-1)^k\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in \mathbb{Z}.$$

2) $$x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi k,\quad x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in \mathbb{Z}.$$