Упр.657 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$2\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)+1=0$$
2. $$1-\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=0$$
3. $$3+4\sin(2x+1)=0$$
4. $$5\sin(2x-1)-2=0$$

1) $$2\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)+1=0$$

$$\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac12$$

$$3x-\frac{\pi}{4}=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Тогда

$$x=\frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{4}+(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n\right)$$

Отсюда получаем два семейства решений:

$$x=\frac{\pi}{36}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=\frac{17\pi}{36}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$1-\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=0$$

$$\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=1$$

$$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{6}+2\pi n$$

$$x=\frac{\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

3) $$3+4\sin(2x+1)=0$$

$$\sin(2x+1)=-\frac34$$

$$2x+1=(-1)^{n+1}\arcsin\frac34+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=(-1)^{n+1}\frac12\arcsin\frac34-\frac12+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

4) $$5\sin(2x-1)-2=0$$

$$\sin(2x-1)=\frac25$$

$$2x-1=(-1)^n\arcsin\frac25+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=(-1)^n\frac12\arcsin\frac25+\frac12+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{36}+\frac{2\pi n}{3},\ \ x=\frac{17\pi}{36}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$x=\frac{\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

3) $$x=(-1)^{n+1}\frac12\arcsin\frac34-\frac12+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

4) $$x=(-1)^n\frac12\arcsin\frac25+\frac12+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$