Упр.656 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 656. Решить уравнение:
   
   1) $$\cos(4-2x)=-\frac{1}{2}$$;
   
   2) $$\cos(6+3x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$;
   
   3) $$\sqrt{2}\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)+1=0$$;
   
   4) $$2\cos\left(\frac{\pi}{3}-3x\right)-\sqrt{3}=0$$.

1) $$\cos(4-2x)=-\frac12$$

Для косинуса имеем:

$$4-2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$

Тогда

$$-2x=\pm \frac{2\pi}{3}-4+2\pi k$$

$$x=2\mp \frac{\pi}{3}-\pi k$$

Так как $$k$$ — произвольное целое число, можно записать:

$$x=2\pm \frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$

2) $$\cos(6+3x)=-\frac{\sqrt2}{2}$$

Тогда

$$6+3x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$

$$3x=\pm \frac{3\pi}{4}-6+2\pi k$$

$$x=\pm \frac{\pi}{4}-2+\frac{2\pi}{3}k,\quad k\in \mathbb Z$$

3) $$\sqrt2\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)+1=0$$

$$\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt2}=-\frac{\sqrt2}{2}$$

Следовательно,

$$2x+\frac{\pi}{4}=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$

1-й случай:

$$2x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi k$$

$$2x=\frac{\pi}{2}+2\pi k$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$

2-й случай:

$$2x+\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi}{4}+2\pi k$$

$$2x=-\pi+2\pi k$$

$$x=-\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$

4) $$2\cos\left(\frac{\pi}{3}-3x\right)-\sqrt3=0$$

$$\cos\left(\frac{\pi}{3}-3x\right)=\frac{\sqrt3}{2}$$

Тогда

$$\frac{\pi}{3}-3x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$

1-й случай:

$$\frac{\pi}{3}-3x=\frac{\pi}{6}+2\pi k$$

$$-3x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k$$

$$x=\frac{\pi}{18}-\frac{2\pi}{3}k,\quad k\in \mathbb Z$$

2-й случай:

$$\frac{\pi}{3}-3x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k$$

$$-3x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$$

$$x=\frac{\pi}{6}-\frac{2\pi}{3}k,\quad k\in \mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=2\pm \frac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in \mathbb Z$$

2) $$x=\pm \frac{\pi}{4}-2+\frac{2\pi}{3}k,\ k\in \mathbb Z$$

3) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in \mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in \mathbb Z$$

4) $$x=\frac{\pi}{18}-\frac{2\pi}{3}k,\ k\in \mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{6}-\frac{2\pi}{3}k,\ k\in \mathbb Z$$