Упр.655 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Вычислить:

1. $$2\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}+3\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)$$
2. $$\arcsin\frac{1}{\sqrt{2}}-4\arcsin 1$$
3. $$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)-\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}$$
4. $$\arccos(-1)-\arcsin(-1)$$
5. $$2\operatorname{arctg}1+3\operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$$
6. $$4\operatorname{arctg}(-1)+3\operatorname{arctg}\sqrt{3}$$

Используем значения тригонометрических функций:

• $$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{3}, \quad \arcsin\left(-\frac12\right)=-\frac{\pi}{6}$$
• $$\arcsin \frac{1}{\sqrt2}=\frac{\pi}{4}, \quad \arcsin 1=\frac{\pi}{2}$$
• $$\arccos\left(-\frac12\right)=\frac{2\pi}{3}, \quad \arccos(-1)=\pi$$
• $$\arcsin\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{3}, \quad \arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2}$$
• $$\arctg 1=\frac{\pi}{4}, \quad \arctg\left(-\frac{1}{\sqrt3}\right)=-\frac{\pi}{6}$$
• $$\arctg(-1)=-\frac{\pi}{4}, \quad \arctg\sqrt3=\frac{\pi}{3}$$

1. $$2\arcsin \frac{\sqrt3}{2}+3\arcsin\left(-\frac12\right)=2\cdot\frac{\pi}{3}+3\cdot\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}$$
2. $$\arcsin \frac{1}{\sqrt2}-4\arcsin 1=\frac{\pi}{4}-4\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}-2\pi=-\frac{7\pi}{4}$$
3. $$\arccos\left(-\frac12\right)-\arcsin\frac{\sqrt3}{2}=\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}$$
4. $$\arccos(-1)-\arcsin(-1)=\pi-\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{3\pi}{2}$$
5. $$2\arctg 1+3\arctg\left(-\frac{1}{\sqrt3}\right)=2\cdot\frac{\pi}{4}+3\cdot\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}=0$$
6. $$4\arctg(-1)+3\arctg\sqrt3=4\cdot\left(-\frac{\pi}{4}\right)+3\cdot\frac{\pi}{3}=-\pi+\pi=0$$

Ответ: 1) $$\frac{\pi}{6}$$; 2) $$-\frac{7\pi}{4}$$; 3) $$\frac{\pi}{3}$$; 4) $$\frac{3\pi}{2}$$; 5) $$0$$; 6) $$0$$.