Упр.654 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sin^2 x+2\sin x>0$$
2. $$\cos^2 x-\cos x<0$$

1) $$\sin^2 x+2\sin x>0$$

Вынесем общий множитель:

$$\sin x(\sin x+2)>0$$

Так как $$\sin x+2>0$$ при любом $$x$$, то неравенство равносильно

$$\sin x>0.$$

Отсюда

$$2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos^2 x-\cos x<0$$

Вынесем общий множитель:

$$\cos x(\cos x-1)<0$$

Пусть $$y=\cos x$$. Тогда

$$y(y-1)<0,$$

откуда

$$0<y<1.$$

Но $$\cos x=1$$ достигается только при $$x=2\pi n$$, а при строгом неравенстве остаётся

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<2\pi n$$

или

$$2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<2\pi n$$ или $$2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$