Упр.654 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) cos2 x — cos x < 0.

1. $$\sin^2 x+2\sin x>0$$

   Вынесем общий множитель:

   $$\sin x(\sin x+2)>0$$

   Так как $$\sin x\in[-1;1]$$, то $$\sin x+2>0$$ при всех $$x$$. Значит, неравенство равносильно:

   $$\sin x>0$$

   Отсюда:

   $$2\pi k<x<\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

2. $$\cos^2 x-\cos x<0$$

   Вынесем общий множитель:

   $$\cos x(\cos x-1)<0$$

   Так как $$\cos x\le 1$$, то $$\cos x-1\le 0$$ при всех $$x$$, а знак произведения будет отрицательным тогда и только тогда, когда

   $$0<\cos x<1$$

   Но $$\cos x=1$$ при $$x=2\pi k$$, поэтому получаем:

   $$-\frac{\pi}{2}+2\pi k<x<2\pi k$$

   или

   $$2\pi k<x<\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$2\pi k<x<\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$

2) $$-\frac{\pi}{2}+2\pi k<x<2\pi k$$, $$2\pi k<x<\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$