Упр.653 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\cos\left(\frac{x}{3}+2\right)\ge\frac{1}{2}$$
2. $$\sin\left(\frac{x}{4}-3\right)<-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

1) Для неравенства $$\cos\left(\frac{x}{3}+2\right)\ge \frac12$$ используем формулу:

$$\cos t \ge a \;\Longrightarrow\; -\arccos a+2\pi k \le t \le \arccos a+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$-\arccos\frac12+2\pi k \le \frac{x}{3}+2 \le \arccos\frac12+2\pi k.$$

Так как $$\arccos\frac12=\frac{\pi}{3},$$ получаем

$$-\frac{\pi}{3}+2\pi k \le \frac{x}{3}+2 \le \frac{\pi}{3}+2\pi k.$$

Вычтем 2 и умножим на 3:

$$-\frac{\pi}{3}-2+2\pi k \le \frac{x}{3} \le \frac{\pi}{3}-2+2\pi k,$$

$$-\pi-6+6\pi k \le x \le \pi-6+6\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2) Для неравенства $$\sin\left(\frac{x}{4}-3\right)<-\frac{\sqrt2}{2}$$ используем формулу:

$$\sin t < a \;\Longrightarrow\; -\pi-\arcsin a+2\pi k < t < \arcsin a+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Так как $$\arcsin\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=-\frac{\pi}{4},$$ то

$$-\pi-\left(-\frac{\pi}{4}\right)+2\pi k < \frac{x}{4}-3 < -\frac{\pi}{4}+2\pi k.$$

Получаем

$$-\frac{3\pi}{4}+2\pi k < \frac{x}{4}-3 < -\frac{\pi}{4}+2\pi k.$$

Прибавим 3 и умножим на 4:

$$-\frac{3\pi}{4}+3+2\pi k < \frac{x}{4} < -\frac{\pi}{4}+3+2\pi k,$$

$$-3\pi+12+8\pi k < x < -\pi+12+8\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$-\pi-6+6\pi k \le x \le \pi-6+6\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2) $$-3\pi+12+8\pi k < x < -\pi+12+8\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$