Упр.653 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) sin(x/4-3) < -корень 2/2.

1. Решим неравенство

   $$\cos\left(\frac{x}{3}+2\right)\ge \frac12.$$

   Для косинуса используем формулу:

   $$\cos t\ge a \;\Longrightarrow\; -\arccos a+2\pi n\le t\le \arccos a+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Тогда

   $$-\arccos\frac12+2\pi n\le \frac{x}{3}+2\le \arccos\frac12+2\pi n.$$

   Так как $$\arccos\frac12=\frac{\pi}{3},$$ получаем

   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n\le \frac{x}{3}+2\le \frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

   Вычтем 2:

   $$-\frac{\pi}{3}-2+2\pi n\le \frac{x}{3}\le \frac{\pi}{3}-2+2\pi n.$$

   Умножим на 3:

   $$-\pi-6+6\pi n\le x\le \pi-6+6\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. Решим неравенство

   $$\sin\left(\frac{x}{4}-3\right)<-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Для синуса используем формулу:

   $$\sin t

   Здесь

   $$\arcsin\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=-\frac{\pi}{4}.$$

   Тогда

   $$-\pi-\left(-\frac{\pi}{4}\right)+2\pi n<\frac{x}{4}-3<\frac{\pi}{4}+2\pi n.$$

   Получаем

   $$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n<\frac{x}{4}-3<\frac{\pi}{4}+2\pi n.$$

   Прибавим 3:

   $$-\frac{3\pi}{4}+3+2\pi n<\frac{x}{4}<\frac{\pi}{4}+3+2\pi n.$$

   Умножим на 4:

   $$-3\pi+12+8\pi n<x<\pi+12+8\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$-\pi-6+6\pi n\le x\le \pi-6+6\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$-3\pi+12+8\pi n<x<\pi+12+8\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$