Упр.650 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) sinx < = корень 2/2; 3)sinx < = -корень 2/2; 4) sinx > — корень 3/2;

1. $$\sin x>\frac12$$

   Для неравенства вида $$\sin x>\alpha$$ имеем:

   $$\arcsin \alpha+2\pi n<x<\pi-\arcsin \alpha+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Так как $$\arcsin \frac12=\frac{\pi}{6},$$ то

   $$\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin x\le \frac{\sqrt2}{2}$$

   Для неравенства вида $$\sin x\le \alpha$$ имеем:

   $$-\pi-\arcsin \alpha+2\pi n\le x\le \arcsin \alpha+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Так как $$\arcsin \frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4},$$ то

   $$-\frac{5\pi}{4}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\sin x\le -\frac{\sqrt2}{2}$$

   Так как $$\arcsin\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=-\frac{\pi}{4},$$ получаем:

   $$-\pi-\arcsin\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)+2\pi n\le x\le \arcsin\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)+2\pi n,$$

   $$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le x\le -\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\sin x>-\frac{\sqrt3}{2}$$

   Для неравенства вида $$\sin x>\alpha$$ имеем:

   $$\arcsin \alpha+2\pi n<x<\pi-\arcsin \alpha+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Так как $$\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{\pi}{3},$$ то

   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$-\frac{5\pi}{4}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

3) $$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le x\le -\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

4) $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$