Упр.648 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Решить неравенство:
   1) $$\cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$$;
   2) $$\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$$;
   3) $$\cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$$;
   4) $$\cos x \le -\frac{\sqrt{2}}{2}$$.

1) Для неравенства $$\cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$$ имеем:

$$-\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}+2\pi n \le x \le \arccos \frac{\sqrt{2}}{2}+2\pi n,$$

то есть

$$-\frac{\pi}{4}+2\pi n \le x \le \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Для неравенства $$\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$$ получаем:

$$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}+2\pi n < x < 2\pi-\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}+2\pi n,$$

то есть

$$\frac{\pi}{6}+2\pi n < x < \frac{11\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) Для неравенства $$\cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ имеем:

$$-\arccos\!\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+2\pi n < x < \arccos\!\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+2\pi n,$$

то есть

$$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n < x < \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4) Для неравенства $$\cos x \le -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ получаем:

$$\arccos\!\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+2\pi n \le x \le 2\pi-\arccos\!\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+2\pi n,$$

то есть

$$\frac{3\pi}{4}+2\pi n \le x \le \frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$\begin{aligned} 1)&\ -\frac{\pi}{4}+2\pi n \le x \le \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z;\\ 2)&\ \frac{\pi}{6}+2\pi n < x < \frac{11\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z;\\ 3)&\ -\frac{5\pi}{6}+2\pi n < x < \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z;\\ 4)&\ \frac{3\pi}{4}+2\pi n \le x \le \frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. \end{aligned}$$