Упр.647 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 647 Найти все значения а, при которых уравнение sin2 х — sin х cos х — 2 cos2 х = а не имеет корней. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 alim10-11 647 1111
Преобразуем уравнение:
$$\sin^2 x-\sin x\cos x-2\cos^2 x=a$$
Перенесём всё в одну сторону и воспользуемся тождеством $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$:
$$\sin^2 x-\sin x\cos x-2\cos^2 x-a(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$
$$ (1-a)\sin^2 x-\sin x\cos x-(2+a)\cos^2 x=0 $$
Если $$\cos x=0$$, то левая часть равна $$1-a$$, и уравнение имеет корень только при $$a=1$$. Но нас интересуют значения $$a$$, при которых корней нет, поэтому рассмотрим случай $$\cos x\neq 0$$ и разделим на $$\cos^2 x$$:
$$ (1-a)\tg^2 x-\tg x-(2+a)=0 $$
Сделаем замену $$t=\tg x$$. Тогда получаем квадратное уравнение:
$$ (1-a)t^2-t-(2+a)=0 $$
Чтобы уравнение не имело действительных корней, нужно, чтобы его дискриминант был отрицателен:
$$ D= (-1)^2-4(1-a)(-(2+a)) $$
$$ D=1+4(1-a)(2+a) $$
$$ D=1+8-4a-4a^2=9-4a-4a^2 $$
Требуем:
$$ 9-4a-4a^2<0 $$
$$ 4a^2+4a-9>0 $$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$ D_1=4^2-4\cdot 4\cdot(-9)=16+144=160=16\cdot 10 $$
$$ a=\frac{-4\pm 4\sqrt{10}}{8}=\frac{-1\pm \sqrt{10}}{2} $$
Тогда
$$ 4a^2+4a-9>0 $$
при
$$ a<\frac{-1-\sqrt{10}}{2} \quad \text{или} \quad a>\frac{-1+\sqrt{10}}{2}. $$
Ответ
$$a<\frac{-1-\sqrt{10}}{2}\quad \text{или}\quad a>\frac{\sqrt{10}-1}{2}$$
