Упр.644 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$4|\cos x|+3=4\sin 2x$$
2. $$|\operatorname{tg}x|+1=\frac{1}{\cos^2x}$$

1) Рассмотрим уравнение $$4|\cos x|+3=4\sin^2 x.$$

Используем формулу $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

$$4|\cos x|+3=4-4\cos^2 x,$$

$$4\cos^2 x+4|\cos x|-1=0.$$

Положим $$y=|\cos x|,$$ тогда $$y\ge 0$$ и $$\cos^2 x=y^2.$$ Получаем:

$$4y^2+4y-1=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=4^2-4\cdot 4\cdot(-1)=16+16=32,$$

$$y=\frac{-4\pm\sqrt{32}}{8}=\frac{-4\pm 4\sqrt2}{8}=\frac{-1\pm\sqrt2}{2}.$$

С учётом условия $$y\ge 0$$ подходит только

$$y=\frac{\sqrt2-1}{2}.$$

Значит,

$$|\cos x|=\frac{\sqrt2-1}{2},$$

откуда

$$\cos x=\pm \frac{\sqrt2-1}{2}.$$

Тогда решения можно записать так:

$$x=\pm \arccos\frac{\sqrt2-1}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

или, объединяя обе серии,

$$x=\pm \arccos\frac{\sqrt2-1}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Рассмотрим уравнение $$|\tg x|+1=\frac{1}{\cos^2 x}.$$

Так как $$\frac{1}{\cos^2 x}=1+\tg^2 x,$$ получаем:

$$|\tg x|+1=1+\tg^2 x,$$

$$|\tg x|=\tg^2 x.$$

Положим $$y=|\tg x|,$$ тогда $$y\ge 0$$ и $$\tg^2 x=y^2.$$ Имеем:

$$y=y^2,$$

$$y(y-1)=0.$$

Отсюда

$$y=0 \quad \text{или} \quad y=1.$$

Если $$|\tg x|=0,$$ то $$\tg x=0,$$ значит

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Если $$|\tg x|=1,$$ то $$\tg x=\pm 1,$$ значит

$$x=\pm \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ:

1) $$x=\pm \arccos\frac{\sqrt2-1}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\pi n,\ \pm \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$