Упр.643 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- $$\sqrt{5\cos x-\cos 2x}=-2\sin x$$
- $$\sqrt{\cos x-\cos 3x}=-\sqrt{2}\cos x$$
1) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{5\cos x-\cos 2x}=-2\sin x.$$
Так как левая часть неотрицательна, то должно быть $$-2\sin x\ge 0,$$ то есть $$\sin x\le 0.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$5\cos x-\cos 2x=4\sin^2 x.$$
Используем формулы $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$ и $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:
$$5\cos x-(2\cos^2 x-1)=4(1-\cos^2 x)$$
$$5\cos x-2\cos^2 x+1=4-4\cos^2 x$$
$$2\cos^2 x+5\cos x-3=0.$$
Пусть $$y=\cos x$$. Тогда
$$2y^2+5y-3=0.$$
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49.$$
$$y_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{4}$$
$$y_1=\frac12,\qquad y_2=-3.$$
Значение $$y=-3$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1;1].$$
Остаётся
$$\cos x=\frac12,$$
откуда
$$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Проверим условие $$\sin x\le 0$$:
$$\sin\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi n\right)=-\frac{\sqrt3}{2}\le 0,$$
$$\sin\left(\frac{\pi}{3}+2\pi n\right)=\frac{\sqrt3}{2}>0.$$
Подходит только
$$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{\cos x+\cos 3x}=-\sqrt2\cos x.$$
Так как левая часть неотрицательна, то $$-\sqrt2\cos x\ge 0,$$ значит $$\cos x\le 0.$$
Используем формулу $$\cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x.$$ Тогда
$$\sqrt{2\cos 2x\cos x}=-\sqrt2\cos x.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$2\cos 2x\cos x=2\cos^2 x.$$
Сократим на $$2$$ и подставим $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:
$$(2\cos^2 x-1)\cos x=\cos^2 x$$
$$2\cos^3 x-\cos x-\cos^2 x=0$$
$$\cos x\,(2\cos^2 x-\cos x-1)=0.$$
Пусть $$y=\cos x$$. Тогда
$$y(2y^2-y-1)=0,$$
откуда
$$y=0,\quad y=1,\quad y=-\frac12.$$
С учётом условия $$\cos x\le 0$$ остаются только
$$\cos x=0 \quad \text{и} \quad \cos x=-\frac12.$$
Тогда
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
и
$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Проверка показывает, что оба семейства корней подходят.
Ответ:
1) $$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
