Упр.642 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sin x \sin 5x = 1$$
2. $$\sin x \cos 4x = -1$$

1) Так как $$|\sin x|\le 1$$ и $$|\sin 5x|\le 1,$$ то равенство

$$\sin x\sin 5x=1$$

возможно только в двух случаях:

$$\sin x=1,\ \sin 5x=1$$

или

$$\sin x=-1,\ \sin 5x=-1.$$

1. Если $$\sin x=1,$$ то

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$\sin 5x=\sin\left(5\cdot\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)\right)=\sin\left(\frac{5\pi}{2}+10\pi k\right)=1,$$

значит, все такие $$x$$ подходят.

2. Если $$\sin x=-1,$$ то

$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$\sin 5x=\sin\left(5\cdot\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)\right)=\sin\left(-\frac{5\pi}{2}+10\pi k\right)=-1,$$

значит, и эти значения подходят.

Итак,

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2) Так как $$|\sin x|\le 1$$ и $$|\cos 4x|\le 1,$$ то равенство

$$\sin x\cos 4x=-1$$

возможно только в двух случаях:

$$\sin x=1,\ \cos 4x=-1$$

или

$$\sin x=-1,\ \cos 4x=1.$$

1. Если $$\sin x=1,$$ то

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$\cos 4x=\cos\left(4\cdot\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)\right)=\cos(2\pi+8\pi k)=1,$$

что не подходит.

2. Если $$\sin x=-1,$$ то

$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$\cos 4x=\cos\left(4\cdot\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi k\right)\right)=\cos(-2\pi+8\pi k)=1,$$

и это подходит.

Следовательно,

$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$
2) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$