Упр.641 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\frac{\cos 2x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\cos 2x}=1$$
2. $$\sin x+\frac{1}{\sin x}=\sin 2x+\frac{1}{\sin 2x}$$

1) Рассмотрим уравнение

$$\frac{\cos 2x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\cos 2x}=1.$$

Сделаем замену:

$$y=\frac{\cos 2x}{\cos x}.$$

Тогда

$$y+\frac{1}{y}=1.$$

Умножим на $$y$$:

$$y^2-y+1=0.$$

Дискриминант:

$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3.$$

Так как $$D<0,$$ действительных корней нет.

2) Рассмотрим уравнение

$$\sin x+\frac{1}{\sin x}=\sin^2 x+\frac{1}{\sin^2 x}.$$

Сделаем замену:

$$y=\sin x.$$

Тогда

$$y+\frac{1}{y}=y^2+\frac{1}{y^2}.$$

Умножим на $$y^2$$:

$$y^3+y=y^4+1.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$y^4-y^3-y+1=0.$$

Сгруппируем:

$$y^3(y-1)-1(y-1)=0,$$

$$\left(y^3-1\right)(y-1)=0.$$

Тогда

$$y^3-1=0 \quad \text{или} \quad y-1=0.$$

Из первого уравнения получаем $$y=1,$$ из второго также $$y=1.$$

Значит,

$$\sin x=1.$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

1) Корней нет.

2) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$