Упр.641 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) sinx+ 1/sinx = sin2x+1/sin2x.

1. Рассмотрим уравнение

   $$\frac{\cos 2x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\cos 2x}=1.$$

   Сделаем замену:

   $$y=\frac{\cos 2x}{\cos x}.$$

   Тогда

   $$y+\frac{1}{y}=1.$$

   Умножим на $$y$$:

   $$y^2-y+1=0.$$

   Дискриминант:

   $$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3.$$

   Так как $$D<0$$, действительных корней нет.

2. Рассмотрим уравнение

   $$\sin x+\frac{1}{\sin x}=\sin^2 x+\frac{1}{\sin^2 x}.$$

   Сделаем замену:

   $$y=\sin x.$$

   Тогда

   $$y+\frac{1}{y}=y^2+\frac{1}{y^2}.$$

   Умножим на $$y^2$$:

   $$y^3+y=y^4+1.$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$y^4-y^3-y+1=0.$$

   Разложим на множители:

   $$y^3(y-1)-1\cdot (y-1)=0,$$

   $$\left(y^3-1\right)(y-1)=0.$$

   Отсюда

   $$y^3-1=0 \quad \text{или} \quad y-1=0.$$

   В обоих случаях получаем $$y=1$$, то есть

   $$\sin x=1.$$

   Следовательно,

   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

1) Корней нет; 2) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z}.$$