Упр.640 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\cos^2 x+\cos^2 2x=\cos^2 3x+\cos^2 4x$$
2. $$\sin^6 x+\cos^6 x=\frac{1}{4}$$

1) Преобразуем левую и правую части:

$$\cos^2 x+\cos^2 2x-\cos^2 3x-\cos^2 4x=0$$

$$\bigl(\cos x-\cos 3x\bigr)\bigl(\cos x+\cos 3x\bigr)+\bigl(\cos 2x-\cos 4x\bigr)\bigl(\cos 2x+\cos 4x\bigr)=0$$

$$2\sin 2x\sin x\cdot 2\cos 2x\cos x+2\sin 3x\sin x\cdot 2\cos 3x\cos x=0$$

$$\sin 2x\sin 4x+\sin 2x\sin 6x=0$$

$$\sin 2x\bigl(\sin 4x+\sin 6x\bigr)=0$$

$$2\sin 2x\cdot \sin 5x\cdot \cos x=0$$

Отсюда:

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0.$$

Решаем каждое уравнение:

$$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi k \Rightarrow x=\frac{\pi k}{2}, \quad k\in \mathbb Z.$$

$$\sin 5x=0 \Rightarrow 5x=\pi k \Rightarrow x=\frac{\pi k}{5}, \quad k\in \mathbb Z.$$

$$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z,$$

но эти корни уже входят в серию $$x=\frac{\pi k}{2}.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi k}{2}\quad \text{или} \quad x=\frac{\pi k}{5}, \quad k\in \mathbb Z.$$

2) Используем формулу:

$$\sin^6 x+\cos^6 x=(\sin^2 x)^3+(\cos^2 x)^3.$$

Тогда

$$\sin^6 x+\cos^6 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^3-3\sin^2 x\cos^2 x(\sin^2 x+\cos^2 x).$$

Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$ получаем

$$1-3\sin^2 x\cos^2 x=\frac14.$$

$$3\sin^2 x\cos^2 x=\frac34$$

$$\sin^2 x\cos^2 x=\frac14.$$

Но $$\sin^2 2x=4\sin^2 x\cos^2 x,$$ значит

$$\sin^2 2x=1.$$

Следовательно,

$$\sin 2x=\pm 1.$$

Отсюда

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi k \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}, \quad k\in \mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi k}{2}$$ или $$x=\frac{\pi k}{5}, \quad k\in \mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}, \quad k\in \mathbb Z.$$