Упр.639 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sin x\sin 2x\sin 3x=\frac{1}{4}\sin 4x$$
2. $$\sin^4 x+\cos^4 x=\frac{1}{2}\sin^2 2x$$

1) Преобразуем левую часть:

$$\sin x \sin 2x \sin 3x=\sin x \cdot 2\sin x \cos x \cdot \sin 3x$$

Используем формулу произведения синусов и косинусов:

$$\sin x \sin 2x \sin 3x=\frac14 \sin 4x$$

Тогда уравнение равносильно

$$\frac14 \sin 4x=\frac14 \sin 4x$$

то есть тождественно верно при всех допустимых значениях $$x$$.

Следовательно,

$$x=\frac{\pi n}{2},\quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Преобразуем выражение:

$$\sin^4 x+\cos^4 x=\left(\sin^2 x+\cos^2 x\right)^2-2\sin^2 x\cos^2 x$$

Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$ получаем

$$\sin^4 x+\cos^4 x=1-2\sin^2 x\cos^2 x.$$

А правая часть равна

$$\frac12\sin^2 2x=\frac12\cdot 4\sin^2 x\cos^2 x=2\sin^2 x\cos^2 x.$$

Тогда

$$1-2\sin^2 x\cos^2 x=2\sin^2 x\cos^2 x,$$

$$1=4\sin^2 x\cos^2 x=\sin^2 2x.$$

Значит,

$$\sin^2 2x=1 \quad \Longrightarrow \quad \cos 2x=0.$$

Отсюда

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$