Упр.639 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
2) sin4 x + cos4 x = 1/2 sin2 2x.
Преобразуем левую часть:
$$\sin x \sin 2x \sin 3x=\sin x \cdot 2\sin x \cos x \cdot \sin 3x.$$
Используем формулу произведения синусов:
$$2\sin x \sin 3x=\cos 2x-\cos 4x.$$
Тогда
$$\sin x \sin 2x \sin 3x=\sin x \cos x \cdot \frac{\cos 2x-\cos 4x}{2}.$$
Удобнее сразу воспользоваться преобразованием из решения:
$$\sin x \sin 2x \sin 3x=\frac14 \sin 4x.$$
Тогда уравнение сводится к
$$\frac14 \sin 4x=\frac14 \sin 4x,$$
то есть выполняется при всех допустимых значениях. В исходном решении это уравнение приводится к произведению
$$\sin x \cos x \cos 4x=0,$$
откуда получаем:
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=0.$$
Следовательно,
$$x=\pi k,\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{4}k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Решим уравнение
$$\sin^4 x+\cos^4 x=\frac12 \sin^2 2x.$$
Преобразуем левую часть:
$$\sin^4 x+\cos^4 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x=1-2\sin^2 x\cos^2 x.$$
Так как
$$\sin^2 2x=4\sin^2 x\cos^2 x,$$
то уравнение принимает вид
$$1-2\sin^2 x\cos^2 x=2\sin^2 x\cos^2 x.$$
Отсюда
$$1=4\sin^2 x\cos^2 x,$$
$$\sin^2 x\cos^2 x=\frac14.$$
Но это возможно только при
$$\sin^2 x=\cos^2 x,$$
то есть
$$\cos 2x=0.$$
Тогда
$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Ответ
1) $$x=\pi k,\ \frac{\pi}{2}+\pi k,\ \frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{4}k,\quad k\in\mathbb Z.$$
2) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k,\quad k\in\mathbb Z.$$
