Упр.637 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$4\sin 3x+\sin 5x-2\sin x\cos 2x=0$$
2. $$6\cos 2x\sin x+7\sin 2x=0$$

1) Преобразуем левую часть:

$$4\sin 3x+\sin 5x-2\sin x\cos 2x=0$$
$$4\sin 3x+\sin 5x+\sin 2x\cos x-2\sin x\cos 2x-\sin 2x\cos x=0$$
$$4\sin 3x+\sin 5x+\sin(2x-x)-\sin(2x+x)=0$$
$$4\sin 3x+\sin 5x+\sin x-\sin 3x=0$$
$$3\sin 3x+\bigl(\sin 5x+\sin x\bigr)=0$$
$$3\sin 3x+2\sin\frac{5x+x}{2}\cos\frac{5x-x}{2}=0$$
$$3\sin 3x+2\sin 3x\cos 2x=0$$
$$\sin 3x\,(3+2\cos 2x)=0$$

Отсюда:

$$\sin 3x=0 \quad \text{или} \quad 3+2\cos 2x=0$$

Если $$\sin 3x=0,$$ то

$$3x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z$$

Если $$3+2\cos 2x=0,$$ то

$$\cos 2x=-\frac32$$

Таких значений нет, так как $$|\cos 2x|\le 1.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$

2) Преобразуем уравнение:

$$6\cos 2x\sin x+7\sin 2x=0$$
$$6\cos 2x\sin x+14\sin x\cos x=0$$
$$2\sin x\,(3\cos 2x+7\cos x)=0$$

Отсюда:

$$2\sin x=0 \quad \text{или} \quad 3\cos 2x+7\cos x=0$$

1) $$\sin x=0,$$ значит

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2) Решим уравнение

$$3\cos 2x+7\cos x=0$$
$$3(2\cos^2 x-1)+7\cos x=0$$
$$6\cos^2 x+7\cos x-3=0$$

Пусть $$y=\cos x.$$ Тогда

$$6y^2+7y-3=0$$
$$D=7^2-4\cdot 6\cdot(-3)=49+72=121$$
$$y_{1,2}=\frac{-7\pm 11}{12}$$
$$y_1=\frac13,\quad y_2=-\frac32$$

Так как $$|\cos x|\le 1,$$ значение $$y_2=-\frac32$$ не подходит. Поэтому

$$\cos x=\frac13$$
$$x=\pm \arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pm \arccos\frac13+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$