Упр.635 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) sin 2x cos x = cos 2x sin x;
3) sin Sx = sin 2x cos x;
4) cos 5x cos x = cos 4x.

1. $$\cos x \cos 2x=\sin x \sin 2x$$

   Перенесём всё в одну сторону и применим формулу косинуса суммы:

   $$\cos x \cos 2x-\sin x \sin 2x=0$$

   $$\cos(x+2x)=0$$

   $$\cos 3x=0$$

   $$3x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z$$

2. $$\sin 2x\cos x=\cos 2x\sin x$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$\sin 2x\cos x-\cos 2x\sin x=0$$

   По формуле синуса разности:

   $$\sin(2x-x)=0$$

   $$\sin x=0$$

   $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

3. $$\sin 3x=\sin 2x\cos x$$

   Используем формулу суммы:

   $$\sin(x+2x)=\sin 2x\cos x$$

   $$\sin x\cos 2x+\cos x\sin 2x=\sin 2x\cos x$$

   $$\sin x\cos 2x=0$$

   Отсюда:

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0$$

   1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   2) $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

4. $$\cos 5x\cos x=\cos 4x$$

   Перепишем правую часть по формуле косинуса суммы:

   $$\cos 4x=\cos(5x-x)=\cos 5x\cos x+\sin 5x\sin x$$

   Тогда

   $$\cos 5x\cos x=\cos 5x\cos x+\sin 5x\sin x$$

   $$\sin 5x\sin x=0$$

   Отсюда:

   $$\sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0$$

   1) $$\sin 5x=0 \Rightarrow 5x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\frac{\pi n}{5},\quad n\in\mathbb Z$$

   2) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$

2) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

3) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$

4) $$x=\frac{\pi n}{5},\ n\in\mathbb Z;\quad x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$$