Упр.635 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- $$\cos x\cos 2x=\sin x\sin 2x$$
- $$\sin 2x\cos x=\cos 2x\sin x$$
- $$\sin 5x=\sin 2x\cos x$$
- $$\cos 5x\cos x=\cos 4x$$
1) $$\cos x\cos 2x=\sin x\sin 2x$$
Перенесём всё в одну сторону и воспользуемся формулой косинуса суммы:
$$\cos x\cos 2x-\sin x\sin 2x=0$$
$$\cos(x+2x)=0$$
$$\cos 3x=0$$
$$3x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z$$
2) $$\sin 2x\cos x=\cos 2x\sin x$$
Перенесём всё в одну сторону и применим формулу синуса разности:
$$\sin 2x\cos x-\cos 2x\sin x=0$$
$$\sin(2x-x)=0$$
$$\sin x=0$$
$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
3) $$\sin 3x=\sin 2x\cos x$$
Используем формулу суммы синусов:
$$\sin(x+2x)=\sin 2x\cos x$$
$$\sin x\cos 2x+\cos x\sin 2x=\sin 2x\cos x$$
$$\sin x\cos 2x=0$$
Отсюда:
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0$$
$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
или
$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$
4) $$\cos 5x\cos x=\cos 4x$$
Применим формулу косинуса разности:
$$\cos(5x-x)=\cos 5x\cos x+\sin 5x\sin x$$
Тогда
$$\cos 4x=\cos 5x\cos x+\sin 5x\sin x$$
Подставим в уравнение:
$$\cos 5x\cos x=\cos 5x\cos x+\sin 5x\sin x$$
$$\sin 5x\sin x=0$$
Отсюда:
$$\sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0$$
$$x=\frac{\pi n}{5},\quad n\in\mathbb Z$$
или
$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Так как $$x=\pi n$$ входит в множество $$x=\frac{\pi n}{5}$$, окончательно получаем:
$$x=\frac{\pi n}{5},\quad n\in\mathbb Z$$
Ответ
1) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$; 2) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; 3) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$$ или $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$; 4) $$x=\frac{\pi n}{5},\ n\in\mathbb Z$$.
