Упр.634 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) 1 — sin x cos x + 2 cos2 x = 0;
3) 2 sin2 x + 1/4cos3 2x = 1;
4) sin2 2x + cos2 3x = 1 + 4 sin x.

1. $$2\cos^2 2x+3\sin 4x+4\sin^2 2x=0$$

   Используем формулу $$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$$:
   $$2\cos^2 2x+6\sin 2x\cos 2x+4\sin^2 2x=0.$$

   Разделим на $$\cos^2 2x$$:
   $$ 2+6\tg 2x+4\tg^2 2x=0. $$
   Пусть $$y=\tg 2x$$. Тогда
   $$ 4y^2+6y+2=0,\qquad 2y^2+3y+1=0. $$
   $$ (2y+1)(y+1)=0. $$
   Отсюда
   $$ y=-\frac12 \quad \text{или} \quad y=-1. $$

   1) $$\tg 2x=-1$$, значит
   $$ 2x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}. $$

   2) $$\tg 2x=-\frac12$$, значит
   $$ 2x=-\arctg \frac12+\pi n,\qquad x=-\frac12\arctg \frac12+\frac{\pi n}{2}. $$

2. $$1-\sin x\cos x+2\cos^2 x=0$$

   Разделим на $$\cos^2 x$$:
   $$ \tg^2 x-\tg x+3=0. $$
   Пусть $$y=\tg x$$. Тогда
   $$ y^2-y+3=0. $$
   Дискриминант:
   $$ D=1-12=-11<0. $$
   Следовательно, действительных корней нет.

3. $$2\sin^2 x+\frac14\cos^3 2x=1$$

   Заменим $$2\sin^2 x=1-\cos 2x$$:
   $$ 1-\cos 2x+\frac14\cos^3 2x=1. $$
   Тогда
   $$ -\cos 2x+\frac14\cos^3 2x=0, $$
   $$ \cos 2x\left(\frac14\cos^2 2x-1\right)=0. $$

   Отсюда:
   $$ \cos 2x=0 $$
   или
   $$ \frac14\cos^2 2x-1=0 \;\Rightarrow\; \cos^2 2x=4. $$
   Второе уравнение решений не имеет, так как $$|\cos 2x|\le 1$$.

   Значит,
   $$ \cos 2x=0,\qquad 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}. $$

4. $$\sin^2 2x+\cos^2 3x=1+4\sin x$$

   Используем формулу $$\cos^2 3x=1-\sin^2 3x$$:
   $$ \sin^2 2x-\sin^2 3x=4\sin x. $$
   Разность квадратов:
   $$ (\sin 2x-\sin 3x)(\sin 2x+\sin 3x)=4\sin x. $$

   Применим формулы суммы и разности:
   $$ \sin 2x-\sin 3x=2\cos\frac{5x}{2}\sin\left(-\frac{x}{2}\right)=-2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{5x}{2}, $$
   $$ \sin 2x+\sin 3x=2\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2}. $$
   Тогда
   $$ -4\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{5x}{2}=4\sin x. $$
   Так как $$\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$$, получаем
   $$ -2\sin x\sin 5x=4\sin x, $$
   $$ \sin x(\sin 5x+2)=0. $$

   Отсюда
   $$ \sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin 5x=-2. $$
   Второе уравнение решений не имеет, так как $$|\sin 5x|\le 1$$.

   Значит,
   $$ x=\pi n. $$

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}$$ или $$x=-\frac12\arctg\frac12+\frac{\pi n}{2}$$, $$n\in\mathbb Z$$;
2) корней нет;
3) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$, $$n\in\mathbb Z$$;
4) $$x=\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.