Упр.634 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$2\cos^2 2x+3\sin 4x+4\sin^2 2x=0$$
2. $$1-\sin x\cos x+2\cos^2 x=0$$
3. $$2\sin^2 x+\frac{1}{4}\cos^3 2x=1$$
4. $$\sin^2 2x+\cos^2 3x=1+4\sin x$$

1) $$2\cos^2 2x+3\sin 4x+4\sin^2 2x=0$$

$$2\cos^2 2x+6\sin 2x\cos 2x+4\sin^2 2x=0$$

Разделим на $$\cos^2 2x$$:

$$2+6\tan 2x+4\tan^2 2x=0$$

Пусть $$y=\tan 2x$$, тогда

$$4y^2+6y+2=0$$

$$2y^2+3y+1=0$$

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=1$$

$$y_1=-1,\quad y_2=-\frac12$$

Тогда

$$\tan 2x=-1 \Rightarrow 2x=-\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}$$

$$\tan 2x=-\frac12 \Rightarrow 2x=-\arctan \frac12+\pi n \Rightarrow x=-\frac12\arctan \frac12+\frac{\pi n}{2}$$

2) $$1-\sin x\cos x+2\cos^2 x=0$$

Разделим на $$\cos^2 x$$:

$$\tan^2 x-\tan x+3=0$$

Пусть $$y=\tan x$$, тогда

$$y^2-y+3=0$$

$$D=1-12=-11<0$$

Следовательно, действительных корней нет.

3) $$2\sin^2 x+\frac14\cos^3 2x=1$$

$$2\sin^2 x-(\cos^2 x+\sin^2 x)+\frac14\cos^3 2x=0$$

$$-(\cos^2 x-\sin^2 x)+\frac14\cos^3 2x=0$$

$$-\cos 2x+\frac14\cos^3 2x=0$$

$$\cos 2x\left(\frac14\cos^2 2x-1\right)=0$$

Отсюда

$$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

Уравнение $$\frac14\cos^2 2x-1=0$$ даёт $$\cos^2 2x=4$$, что невозможно.

4) $$\sin^2 2x+\cos^2 3x=1+4\sin x$$

$$\sin^2 2x-(1-\sin^2 3x)=4\sin x$$

$$\sin^2 2x-\sin^2 3x=4\sin x$$

$$(\sin 2x+\sin 3x)(\sin 2x-\sin 3x)=4\sin x$$

Используем формулы суммы и разности синусов:

$$2\sin \frac{5x}{2}\cos \frac{x}{2}\cdot 2\sin\left(-\frac{x}{2}\right)\cos \frac{5x}{2}=4\sin x$$

$$-4\sin \frac{5x}{2}\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}\cos \frac{5x}{2}=4\sin x$$

$$-\sin x\sin 5x=4\sin x$$

$$\sin x(\sin 5x+4)=0$$

Отсюда

$$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n$$

или

$$\sin 5x=-4$$

Это невозможно, так как $$-1\le \sin 5x\le 1$$.

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\; x=-\frac12\arctan \frac12+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$

2) Корней нет.

3) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$

4) $$x=\pi n,\; n\in\mathbb Z$$