Упр.633 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$4\sin x\cos x\cos 2x=\sin^2 4x$$
2. $$1+\cos 2x=\sin 4x$$

1) $$4\sin x\cdot \cos x\cdot \cos 2x=\sin^2 4x$$

Преобразуем левую часть:

$$4\sin x\cos x=2\sin 2x,$$

тогда

$$2\sin 2x\cos 2x=\sin^2 4x.$$

Но $$2\sin 2x\cos 2x=\sin 4x,$$ значит

$$\sin 4x=\sin^2 4x.$$

Обозначим $$t=\sin 4x$$. Тогда

$$t=t^2,$$

$$t(t-1)=0.$$

Отсюда:

$$\sin 4x=0 \quad \text{или} \quad \sin 4x=1.$$

1) Если $$\sin 4x=0,$$ то

$$4x=\pi n,\quad n\in \mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi n}{4}.$$

2) Если $$\sin 4x=1,$$ то

$$4x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi n}{4},\ \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in \mathbb Z.$$

2) $$1+\cos^2 x=\sin^4 x$$

Перенесём всё в одну сторону и выразим через $$\sin x$$:

$$1-\sin^4 x+\cos^2 x=0.$$

Так как $$1-\sin^4 x=(1-\sin^2 x)(1+\sin^2 x)=\cos^2 x(1+\sin^2 x),$$ получаем

$$\cos^2 x(1+\sin^2 x)+\cos^2 x=0,$$

$$\cos^2 x(2+\sin^2 x)=0.$$

Произведение равно нулю, если

$$\cos^2 x=0$$

или

$$2+\sin^2 x=0.$$

Второе уравнение решений не имеет, так как $$\sin^2 x\ge 0.$$

Значит,

$$\cos x=0,$$

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$