Упр.632 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$1-\cos(\pi-x)+\sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{x}{2}\right)=0$$
2. $$\sqrt{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=(\sin x+\cos x)^2$$

1) $$1-\cos(\pi-x)+\sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{x}{2}\right)=0$$

Используем формулы:

$$\cos(\pi-x)=-\cos x,\qquad \sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{x}{2}\right)=\cos\frac{x}{2}.$$

Тогда

$$1+\cos x+\cos\frac{x}{2}=0.$$

Положим $$t=\cos\frac{x}{2}.$$ Тогда $$\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}-1=2t^2-1,$$ и получаем

$$1+(2t^2-1)+t=0,$$

$$2t^2+t=0,$$

$$t(2t+1)=0.$$

Отсюда:

$$\cos\frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos\frac{x}{2}=-\frac12.$$

1. $$\cos\frac{x}{2}=0$$

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\pi+2\pi n.$$

2. $$\cos\frac{x}{2}=-\frac12$$

$$\frac{x}{2}=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\pm\frac{4\pi}{3}+4\pi n.$$

Ответ: $$x=\pi+2\pi n,\ \ x=\pm\frac{4\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sqrt2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=(\sin x+\cos x)^2$$

Раскроем косинус разности:

$$\sqrt2\left(\cos x\cos\frac{\pi}{4}+\sin x\sin\frac{\pi}{4}\right)=(\sin x+\cos x)^2.$$

Так как $$\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},$$ то

$$\sin x+\cos x=(\sin x+\cos x)^2.$$

Обозначим $$u=\sin x+\cos x.$$ Тогда

$$u=u^2,$$

$$u(u-1)=0.$$

Следовательно,

$$\sin x+\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x+\cos x=1.$$

1. $$\sin x+\cos x=0$$

$$\tan x=-1,$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin x+\cos x=1$$

$$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$

откуда

$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ x=2\pi n,\ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$