Упр.630 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$2\sin 2x=1+\frac{1}{3}\sin 4x$$
2. $$2\cos^2 2x-1=\sin 4x$$
3. $$2\cos^2 2x+3\cos^2 x=2$$
4. $$(\sin x+\cos x)^2=1+\cos x$$

1) $$2\sin^2 x=1+\frac13\sin 4x$$

Преобразуем уравнение:

$$1-\cos 2x=1+\frac23\sin 2x\cos 2x$$

$$\cos 2x\left(\frac23\sin 2x+1\right)=0$$

Отсюда:

$$\cos 2x=0$$

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

или

$$\frac23\sin 2x+1=0$$

$$\sin 2x=-\frac32$$

Таких решений нет.

Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$2\cos^2 2x-1=\sin 4x$$

Используем формулу $$2\cos^2 2x-1=\cos 4x$$:

$$\cos 4x=\sin 4x$$

$$\cos 4x-\sin 4x=0$$

$$\cos 4x\neq 0,\quad \tg 4x=1$$

$$4x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$2\cos^2 2x+3\cos^2 x=2$$

Преобразуем:

$$2\cos^2 2x+\frac32(1+\cos 2x)=2$$

$$4\cos^2 2x+3\cos 2x-1=0$$

Пусть $$y=\cos 2x$$. Тогда:

$$4y^2+3y-1=0$$

$$D=3^2-4\cdot 4\cdot(-1)=25$$

$$y_1=\frac{-3-5}{8}=-1,\qquad y_2=\frac{-3+5}{8}=\frac14$$

1) $$\cos 2x=-1$$

$$2x=\pi+2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$\cos 2x=\frac14$$

$$2x=\pm\arccos\frac14+2\pi n$$

$$x=\pm\frac12\arccos\frac14+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\pm\frac12\arccos\frac14+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4) $$(\sin x+\cos x)^2=1+\cos x$$

Раскроем скобки:

$$\sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x\cos x=1+\cos x$$

$$1+2\sin x\cos x=1+\cos x$$

$$2\sin x\cos x-\cos x=0$$

$$\cos x(2\sin x-1)=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0$$

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

или

$$2\sin x-1=0$$

$$\sin x=\frac12$$

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$