Упр.629 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$3\sin x\cos x=\sin 2x$$
2. $$2\sin x\cos x=\cos x$$
3. $$\sin 4x+\sin^2 2x=0$$
4. $$\sin 2x+2\cos^2 x=0$$

1) $$\sqrt{3}\sin x\cos x=\sin^2 x$$

$$\sqrt{3}\sin x\cos x-\sin^2 x=0$$

$$\sin x(\sqrt{3}\cos x-\sin x)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

или

$$\sqrt{3}\cos x-\sin x=0 \quad \Rightarrow \quad \tg x=\sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x=\pi n,\; \frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

2) $$2\sin x\cos x=\cos x$$

$$2\sin x\cos x-\cos x=0$$

$$\cos x(2\sin x-1)=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

или

$$2\sin x-1=0 \quad \Rightarrow \quad \sin x=\frac12 \quad \Rightarrow \quad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; (-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

3) $$\sin 4x+\sin^2 2x=0$$

$$2\sin 2x\cos 2x+\sin^2 2x=0$$

$$\sin 2x(2\cos 2x+\sin 2x)=0$$

Отсюда:

$$\sin 2x=0 \quad \Rightarrow \quad 2x=\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb{Z}$$

или

$$2\cos 2x+\sin 2x=0 \quad \Rightarrow \quad \tg 2x=-2 \quad \Rightarrow \quad 2x=-\arctg 2+\pi n$$

$$x=-\frac12\arctg 2+\frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x=\frac{\pi n}{2},\; -\frac12\arctg 2+\frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb{Z}$$

4) $$\sin 2x+2\cos^2 x=0$$

$$2\sin x\cos x+2\cos^2 x=0$$

$$2\cos x(\sin x+\cos x)=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

или

$$\sin x+\cos x=0 \quad \Rightarrow \quad \tg x=-1 \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; -\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$