Упр.629 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

2) 2 sin x cos x = cos x;
3) sin 4x + sin2 2x = 0;
4) sin 2x + 2 cos2 x = 0.

Подробный ответ

$$\sqrt{3}\sin x\cos x=\sin^2 x$$
Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:
$$\sqrt{3}\sin x\cos x-\sin^2 x=0$$
$$\sin x(\sqrt{3}\cos x-\sin x)=0$$
Отсюда:
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{3}\cos x-\sin x=0$$
1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
2) $$\sqrt{3}\cos x-\sin x=0 \Rightarrow \sqrt{3}-\tg x=0 \Rightarrow \tg x=\sqrt{3}$$
$$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
$$2\sin x\cos x=\cos x$$
Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:
$$2\sin x\cos x-\cos x=0$$
$$\cos x(2\sin x-1)=0$$
Отсюда:
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-1=0$$
1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
2) $$2\sin x-1=0 \Rightarrow \sin x=\frac12$$
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
$$\sin 4x+\sin^2 2x=0$$
Используем формулу $$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$$:
$$2\sin 2x\cos 2x+\sin^2 2x=0$$
$$\sin 2x(2\cos 2x+\sin 2x)=0$$
Отсюда:
$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos 2x+\sin 2x=0$$
1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$
2) $$2\cos 2x+\sin 2x=0 \Rightarrow 2+\tg 2x=0 \Rightarrow \tg 2x=-2$$
$$2x=-\arctg 2+\pi n$$
$$x=-\frac12\arctg 2+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z$$
$$\sin 2x+2\cos^2 x=0$$
Преобразуем $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:
$$2\sin x\cos x+2\cos^2 x=0$$
$$2\cos x(\sin x+\cos x)=0$$
Отсюда:
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x+\cos x=0$$
1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$
2) $$\sin x+\cos x=0 \Rightarrow \tg x=-1$$
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$