Упр.628 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) (1-корень 2 cosx/4)(1+ корень 3 tgx)=0;
3)(2sin(x+пи/6)-1)(2tgx+1)=0;
4) (1+корень 2 cos(x+пи/4))(tgx-3)=0.

1. $$\left(\tg x-\sqrt3\right)\left(2\sin\frac{x}{12}+1\right)=0$$

   Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

   $$\tg x-\sqrt3=0 \quad \text{или} \quad 2\sin\frac{x}{12}+1=0.$$

   1) $$\tg x=\sqrt3,$$ откуда

   $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   2) $$2\sin\frac{x}{12}+1=0 \Rightarrow \sin\frac{x}{12}=-\frac12.$$

   Тогда

   $$\frac{x}{12}=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   значит

   $$x=(-1)^{n+1}2\pi+12\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\left(1-\sqrt2\cos\frac{x}{4}\right)\left(1+\sqrt3\,\tg x\right)=0$$

   Отсюда:

   $$1-\sqrt2\cos\frac{x}{4}=0 \quad \text{или} \quad 1+\sqrt3\,\tg x=0.$$

   1) $$\cos\frac{x}{4}=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2},$$ поэтому

   $$\frac{x}{4}=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   $$x=\pm\pi+8\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   2) $$\tg x=-\frac{1}{\sqrt3},$$ значит

   $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\left(2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-1\right)\left(2\tg x+1\right)=0$$

   Тогда

   $$2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-1=0 \quad \text{или} \quad 2\tg x+1=0.$$

   1) $$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac12.$$

   Следовательно,

   $$x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$

   откуда

   $$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   2) $$2\tg x+1=0 \Rightarrow \tg x=-\frac12,$$ значит

   $$x=-\arctg\frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\left(1+\sqrt2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right)\left(\tg x-3\right)=0$$

   Отсюда:

   $$1+\sqrt2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \tg x-3=0.$$

   1) $$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt2}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Тогда

   $$x+\frac{\pi}{4}=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Получаем

   $$x=-\pi+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

   Значение $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ не подходит, так как при нём $$\tg x$$ не определён.

   2) $$\tg x=3,$$ значит

   $$x=\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n;\; x=(-1)^{n+1}2\pi+12\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\pm\pi+8\pi n;\; x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

3) $$x=2\pi n;\; x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\; x=-\arctg\frac12+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

4) $$x=-\pi+2\pi n;\; x=\arctg 3+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$