Упр.628 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$(\tan x-\sqrt{3})\left(\frac{2\sin x}{12}+1\right)=0$$
2. $$\left(1-\frac{\sqrt{2}\cos x}{4}\right)(1+\sqrt{3}\tan x)=0$$
3. $$\left(2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-1\right)(2\tan x+1)=0$$
4. $$\left(1+\sqrt{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right)(\tan x-3)=0$$

1) $$\left(\tg x-\sqrt3\right)\left(2\sin\frac{x}{12}+1\right)=0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

$$\tg x-\sqrt3=0 \quad \text{или} \quad 2\sin\frac{x}{12}+1=0.$$

Из первого уравнения:

$$\tg x=\sqrt3,$$

$$x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Из второго уравнения:

$$2\sin\frac{x}{12}+1=0,$$

$$\sin\frac{x}{12}=-\frac12,$$

$$\frac{x}{12}=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=(-1)^{n+1}2\pi+12\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n;\quad x=(-1)^{n+1}2\pi+12\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\left(1-\sqrt2\cos\frac{x}{4}\right)\left(1+\sqrt3\,\tg x\right)=0$$

Тогда

$$1-\sqrt2\cos\frac{x}{4}=0 \quad \text{или} \quad 1+\sqrt3\,\tg x=0.$$

Из первого уравнения:

$$\cos\frac{x}{4}=\frac{1}{\sqrt2},$$

$$\frac{x}{4}=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,$$

$$x=\pm\pi+8\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Из второго уравнения:

$$\tg x=-\frac{1}{\sqrt3},$$

$$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\pm\pi+8\pi n;\quad x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$\left(2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-1\right)\left(2\tg x+1\right)=0$$

Получаем:

$$2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-1=0 \quad \text{или} \quad 2\tg x+1=0.$$

Из первого уравнения:

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac12,$$

$$x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$

откуда

$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Из второго уравнения:

$$2\tg x+1=0,$$

$$\tg x=-\frac12,$$

$$x=-\arctg\frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=2\pi n;\quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\quad x=-\arctg\frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4) $$\left(1+\sqrt2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right)\left(\tg x-3\right)=0$$

Тогда

$$1+\sqrt2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \tg x-3=0.$$

Из первого уравнения:

$$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt2},$$

$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Но при $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ тангенс не определён, поэтому этот корень не подходит.

Из второго уравнения:

$$\tg x=3,$$

$$x=\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\pi+2\pi n;\quad x=\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$