Упр.625 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- $$\sin x-\cos x=1$$
- $$\sin x+\cos x=1$$
- $$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2$$
- $$\sin 3x+\cos 3x=\sqrt{2}$$
1) $$\sin x-\cos x=1$$
Разделим обе части на $$\sqrt2$$:
$$\sin x\cdot \frac{\sqrt2}{2}-\cos x\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2}$$
Так как $$\sin \frac{\pi}{4}=\cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},$$ получаем
$$\sin x\cos \frac{\pi}{4}-\cos x\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}$$
$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$$
$$x-\frac{\pi}{4}=(-1)^k\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$
Отсюда
$$x=\pi k \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
2) $$\sin x+\cos x=1$$
Разделим обе части на $$\sqrt2$$:
$$\sin x\cdot \frac{\sqrt2}{2}+\cos x\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{2}$$
Тогда
$$\sin x\cos \frac{\pi}{4}+\cos x\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}$$
$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$$
$$x+\frac{\pi}{4}=(-1)^k\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$
Отсюда
$$x=2\pi k \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
3) $$\sqrt3\sin x+\cos x=2$$
Разделим обе части на $$2$$:
$$\frac{\sqrt3}{2}\sin x+\frac12\cos x=1$$
Так как $$\sin \frac{\pi}{6}=\frac12,\ \cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2},$$ имеем
$$\sin x\cos \frac{\pi}{6}+\cos x\sin \frac{\pi}{6}=1$$
$$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1$$
$$x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
4) $$\sin 3x+\cos 3x=\sqrt2$$
Разделим обе части на $$\sqrt2$$:
$$\frac{\sqrt2}{2}\sin 3x+\frac{\sqrt2}{2}\cos 3x=1$$
Тогда
$$\sin 3x\cos \frac{\pi}{4}+\cos 3x\sin \frac{\pi}{4}=1$$
$$\sin\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)=1$$
$$3x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$
$$3x=\frac{\pi}{4}+2\pi k$$
$$x=\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi k}{3},\quad k\in\mathbb Z.$$
Ответ
1) $$x=\pi k,\ \frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$
2) $$x=2\pi k,\ \frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$
3) $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$
4) $$x=\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi k}{3},\ k\in\mathbb Z$$
