Упр.625 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

2) sin x + cos x = 1;
3) корень 3 sinx + cosx = 2;
4) sin 3x + cos 3x = корень 2.

Подробный ответ

$$\sin x-\cos x=1$$
Разделим обе части на $$\sqrt2$$:
$$\frac{\sin x}{\sqrt2}-\frac{\cos x}{\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}$$
Так как $$\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$$, а $$\frac{\sqrt2}{2}=\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}$$, получаем:
$$\sin x\cos\frac{\pi}{4}-\cos x\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}$$
$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$$
Тогда
$$x-\frac{\pi}{4}=(-1)^k\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$
Отсюда
$$x=(-1)^k\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$
То есть
$$x=-\pi+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$\sin x+\cos x=1$$
Разделим обе части на $$\sqrt2$$:
$$\frac{\sin x}{\sqrt2}+\frac{\cos x}{\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}$$
Тогда
$$\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\cos x\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}$$
$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$$
Следовательно,
$$x+\frac{\pi}{4}=(-1)^k\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$
Отсюда
$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$\sqrt3\sin x+\cos x=2$$
Разделим обе части на $$2$$:
$$\frac{\sqrt3}{2}\sin x+\frac12\cos x=1$$
Так как $$\frac{\sqrt3}{2}=\cos\frac{\pi}{6}$$ и $$\frac12=\sin\frac{\pi}{6}$$, получаем:
$$\sin x\cos\frac{\pi}{6}+\cos x\sin\frac{\pi}{6}=1$$
$$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1$$
Значит,
$$x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$\sin 3x+\cos 3x=\sqrt2$$
Разделим обе части на $$\sqrt2$$:
$$\frac{\sin 3x}{\sqrt2}+\frac{\cos 3x}{\sqrt2}=1$$
Тогда
$$\sin 3x\cos\frac{\pi}{4}+\cos 3x\sin\frac{\pi}{4}=1$$
$$\sin\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)=1$$
Следовательно,
$$3x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$3x=\frac{\pi}{4}+2\pi n$$
$$x=\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$