Упр.623 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$1+7\cos^2 x=3\sin 2x$$
2. $$3+\sin 2x=4\sin^2 x$$
3. $$\cos 2x+\cos^2 x+\sin x\cos x=0$$
4. $$3\cos 2x+\sin^2 x+5\sin x\cos x=0$$

1) Преобразуем уравнение:

$$1+7\cos^2 x=3\sin 2x$$

$$1+7\cos^2 x=6\sin x\cos x$$

$$\sin^2 x+8\cos^2 x-6\sin x\cos x=0$$

Разделим на $$\cos^2 x$$:

$$\tg^2 x-6\tg x+8=0$$

Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

$$y^2-6y+8=0$$

$$\left(y-2\right)\left(y-4\right)=0$$

$$y=2 \quad \text{или} \quad y=4$$

Следовательно,

$$\tg x=2 \quad \text{или} \quad \tg x=4$$

$$x=\arctg 2+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg 4+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

2) Преобразуем уравнение:

$$3+\sin 2x=4\sin^2 x$$

$$3\left(\cos^2 x+\sin^2 x\right)+2\sin x\cos x=4\sin^2 x$$

$$3\cos^2 x-\sin^2 x+2\sin x\cos x=0$$

Разделим на $$\cos^2 x$$:

$$3-\tg^2 x+2\tg x=0$$

$$\tg^2 x-2\tg x-3=0$$

Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

$$y^2-2y-3=0$$

$$\left(y-3\right)\left(y+1\right)=0$$

$$y=3 \quad \text{или} \quad y=-1$$

Значит,

$$\tg x=3 \quad \text{или} \quad \tg x=-1$$

$$x=\arctg 3+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

3) Преобразуем уравнение:

$$\cos 2x+\cos^2 x+\sin x\cos x=0$$

$$\cos^2 x-\sin^2 x+\cos^2 x+\sin x\cos x=0$$

$$2\cos^2 x-\sin^2 x+\sin x\cos x=0$$

Разделим на $$\cos^2 x$$:

$$2-\tg^2 x+\tg x=0$$

$$\tg^2 x-\tg x-2=0$$

Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

$$y^2-y-2=0$$

$$\left(y-2\right)\left(y+1\right)=0$$

$$y=2 \quad \text{или} \quad y=-1$$

Следовательно,

$$\tg x=2 \quad \text{или} \quad \tg x=-1$$

$$x=\arctg 2+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

4) Преобразуем уравнение:

$$3\cos 2x+\sin^2 x+5\sin x\cos x=0$$

$$3\left(\cos^2 x-\sin^2 x\right)+\sin^2 x+5\sin x\cos x=0$$

$$3\cos^2 x-2\sin^2 x+5\sin x\cos x=0$$

Разделим на $$\cos^2 x$$:

$$3-2\tg^2 x+5\tg x=0$$

$$2\tg^2 x-5\tg x-3=0$$

Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

$$2y^2-5y-3=0$$

$$D=25+24=49$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 7}{4}$$

$$y_1=3,\quad y_2=-\frac12$$

Значит,

$$\tg x=3 \quad \text{или} \quad \tg x=-\frac12$$

$$x=\arctg 3+\pi n \quad \text{или} \quad x=-\arctg \frac12+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=\arctg 2+\pi n,\; x=\arctg 4+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

2) $$x=\arctg 3+\pi n,\; x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

3) $$x=\arctg 2+\pi n,\; x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

4) $$x=\arctg 3+\pi n,\; x=-\arctg \frac12+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$